Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f^{\prime }(x)$ và $g(x)=f^{\prime \prime }(x)+bx-c$ bằng

Ta có $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$.
Đồ thị hàm số đi qua điểm $(-2;0)$, $(3;-5)$ và hàm số đạt cực trị tại $x=-1$ và $x=3$ nên ta có hệ phương trình:
$\{<table><tbody><tr><td>-8a+4b-2c+d=0</td></tr><tr><td>27a+9b+3c+d=-5</td></tr><tr><td>3a-2b+c=0</td></tr><tr><td>27a+6b+c=0</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>a=\frac{1}{5}</td></tr><tr><td>b=-\frac{3}{5}</td></tr><tr><td>c=-\frac{9}{5}</td></tr><tr><td>d=\frac{2}{5}</td></tr></tbody></table>$.
Khi đó $f(x)=\frac{1}{5}{x}^3-\frac{3}{5}{x}^2-\frac{9}{5}x+\frac{2}{5}$; $f^{\prime }(x)=\frac{3}{5}{x}^2-\frac{6}{5}x-\frac{9}{5}$, $f^{\prime \prime }(x)=\frac{6}{5}x-\frac{6}{5}$ và $g(x)=\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $f^{\prime }(x)$ và $g(x)$:
$\frac{3}{5}{x}^2-\frac{6}{5}x-\frac{9}{5}=\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}\iff [<table><tbody><tr><td>x=-1</td></tr><tr><td>x=4</td></tr></tbody></table>$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $f^{\prime }(x)$ và $g(x)$ bằng:
${\int }_{-1}^4\left|\frac{3}{5}{x}^2-\frac{9}{5}x-\frac{12}{5}\right|\mathrm{d}x=\frac{25}{2}$.