Cho các số thực dương $x$ và $y$ thỏa mãn $4+3^{2x^2-y+2}=\left(4+9^{2x^2-y}\right)\cdot 7^{y-2x^2+2}$. Khi biểu thức $P=\frac{x+y+10}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng $x+y$ bằng

Gọi $A$ và $B$ là hai điểm phân biệt trên đồ thị của hàm số $y={\log }_3(5x-3)$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn $OB$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ có dạng $\frac{\sqrt{a}}{b}$ (với $\frac{\sqrt{a}}{b}$ tối giản). Tính giá trị $ab$.

Nghiệm của phương trình ${\log }_2(3x+1)=2$ là

Sự suy giảm áp suất không khí $P$ (đo bằng milimet thuỷ ngân, kí hiệu là $\text{mmHg}$) được tính theo công thức $P=P_0{e}^{xi}$, trong đó $x$ (mét) là độ cao so với mực nước biển, $P_0=760\text{ mmHg}$ là áp suất ở mực nước biển (khi $x=0$), $i$ là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao $1000$ mét thì áp suất không khí là $672,71\text{ mmHg}$. Hỏi áp suất không khí ở độ cao $3000$ mét gần với số nào sau đây nhất?

Cho phương trình $4^{-x}-3x+{\log }_4(m-x)-2m+2=0$ ($m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị $m$ nguyên để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn $[-1;1]$. Số phần tử của $S$ là

Cho phương trình ${\log }_a(ax)\cdot {\log }_b(bx)=2020$ với $a,b$ là các tham số thực lớn hơn $1$. Gọi $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình đã cho. Khi biểu thức $P=6x_1{x}_2+a+b+3\left(\frac{1}{4a}+\frac{4}{b}\right)$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $a+b$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Phương trình: $3^{2x}=\frac{1}{9}$ có nghiệm là