Cho phương trình $4^{-x}-3x+{\log }_4(m-x)-2m+2=0$ ($m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị $m$ nguyên để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn $[-1;1]$. Số phần tử của $S$ là

Xét hàm số $h(x)=4^{-x}-3x+{\log }_4(m-x)-2m+2$ trên $[-1;1]\cap (-\infty ;m)$. Để tồn tại $x\in [-1;1]$ sao cho $m-x>0$ thì $m>-1$, mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\ge 0$. Trên $[-1;\min (1,m))$, hàm số $h(x)$ liên tục và nghịch biến vì $h^{\prime }(x)=-4^{-x}\ln 4-3-\frac{1}{(m-x)\ln 4}<0$.
- Với $m\in \{0;1\}$: ${\lim }_{x\to m^{-}}h(x)=-\infty$ và $h(-1)=9+{\log }_4(m+1)-2m>0$, nên phương trình luôn có nghiệm duy nhất thuộc $(-1;m)\subset [-1;1]$.
- Với $m\ge 2$: phương trình có nghiệm thuộc $[-1;1]\iff h(1)\le 0\le h(-1)$. Ta có $h(1)=-\frac{3}{4}+{\log }_4(m-1)-2m<0$ luôn đúng với mọi $m\ge 2$, còn $h(-1)=9+{\log }_4(m+1)-2m\ge 0\iff 2m-{\log }_4(m+1)\le 9\iff m\in \{2;3;4;5\}$.
Vậy $S=\{0;1;2;3;4;5\}$ có $6$ phần tử.