Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số chẵn trên tập số thực $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng tồn tại các giá trị của tham số $m$ để phương trình $3\cdot 3^{2f^2(x)}-m(4|f(x)|+3m+3)3^{f^2(x)}+3=0$ có đúng $7$ nghiệm thực phân biệt. Tổng lập phương các giá trị đó của $m$ là:

[IMAGE_1]

Phương trình tương đương $3^{f^2(x)}+\frac{1}{3^{f^2(x)}}=\frac{1}{3}m(4|f(x)|+3m+3)(\ast )$. Vì $f(x)$ là hàm chẵn nên điều kiện cần để $(\ast )$ có $7$ nghiệm thực phân biệt là $x=0$ là nghiệm. Từ đồ thị $f(0)=0\Rightarrow 2=\frac{1}{3}m(3m+3)\iff m^2+m-2=0\iff m=1$ hoặc $m=-2$. Thử lại: với $m=-2$, $\text{VT}\ge 2\ge \frac{-2}{3}(4|f(x)|-3)=\text{VP}$, dấu bằng chỉ xảy ra khi $f(x)=0$ (có $3$ nghiệm, loại). Với $m=1$, phương trình có hai nghiệm $f^2(x)=0$ và $f^2(x)=1\iff f(x)\in \{0;1;-1\}$, từ đồ thị cho đúng $3+2+2=7$ nghiệm phân biệt. Vậy chỉ có $m=1$ thỏa mãn, suy ra $m^3=1$.