Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+2{)}^2=9$ và mặt phẳng $(P):2x+y-2z+1=0$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $O$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ và cắt $(P)$ tại $A$ sao cho $OA$ nhỏ nhất có phương trình là

Hải đăng là một ngọn tháp (nhà hoặc khung) được thiết kế để chiếu sáng từ một hệ thống đèn và thấu kính, với mục đích hỗ trợ cho các hoa tiêu trên biển định hướng và tìm đường. Vào năm 293 trước Công nguyên, ngọn hải đăng đầu tiên đã được người Phoenicia xây dựng trên hòn đảo Pharos tại Alexandria. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), coi một phần mặt biển được khảo sát là mặt phẳng $(Oxy)$ trục $Oz$ hướng lên vuông góc với mặt biển, một ngọn hải đăng có đỉnh ở vị trí $I(21;35;50)$ và có bán kính phủ sáng là $4\text{ km}$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=16$. Bán kính của mặt cầu $(S)$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+2z+5=0$ và các điểm $A(0;0;4)$, $B(2;0;0)$. Mặt cầu $(S)$ có bán kính nhỏ nhất đi qua các điểm $A,B,O$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ có tâm là điểm $I$. Tung độ của điểm $I$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, tọa độ tâm của mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y-6=0$ là

Xét hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1|=1,|z_2|=\sqrt{2},|z_1-z_2|=1$. Giá trị nhỏ nhất của $|2z_1+z_2-(5+5i)|$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I(3;-1;4)$ và mặt cầu $(S_1):(x-1{)}^2+y^2+(z-2{)}^2=1$. Phương trình của mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ và tiếp xúc ngoài với mặt cầu $(S_1)$ là