Một tháp trưng bày nghệ thuật có dạng khối chóp với đỉnh là $S$ và đáy $ABCD$ là một hình bình hành. Chiều cao của tháp là 9 mét, diện tích đáy $ABCD$ là $10m^2$. Trên mỗi mặt bên của tháp, người ta thiết kế đặt một đèn trang trí có vị trí tại đúng trọng tâm của mặt đó. Gọi $M$, $N$, $P$ và $Q$ lần lượt là trọng tâm của các mặt bên $SAB$, $SBC$, $SCD$ và $SDA$. Ngoài ra, hai cột trang trí được đặt tại các điểm $B$ và $D$. Hãy giúp người kỹ sư tính thể tích không gian bên trong của khối đa diện lồi được tạo thành bởi các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$, $B$ và $D$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: đáy ABCD nằm trong mặt phẳng z=0, S có cao độ 9 (chiều cao tháp h=9, S_ABCD=10 m²). Vì M, N, P, Q là trọng tâm các mặt bên nên mỗi điểm có dạng (S + hai đỉnh đáy)/3, do đó tất cả đều nằm trong mặt phẳng z = 9/3 = 3. Hơn nữa: M−N = (A−C)/3 và N−P = (B−D)/3, nên MNPQ là hình bình hành có hai cạnh song song và bằng 1/3 hai đường chéo AC, BD của đáy, tức diện tích S_{MNPQ} = |AC×BD|/9 = 2·S_{ABCD}/9 = 20/9 m². Khối đa diện lồi cần tính là bao lồi của đoạn BD (nằm trong z=0) và hình bình hành MNPQ (nằm trong z=3), nên nó là hợp các đoạn nối conv(BD) với MNPQ: mặt cắt tại cao độ z = 3t (0≤t≤1) là tổng Minkowski (1−t)·BD ⊕ t·MNPQ, có diện tích A(t) = t²·(20/9) + 2t(1−t)·V(BD, MNPQ), trong đó hỗn hợp diện tích V(BD, MNPQ) = ½·|BD|·(bề rộng của MNPQ theo phương vuông góc BD). Vì cạnh của MNPQ gồm AC/3 và BD/3, bề rộng vuông góc BD là |AC·n|/3 với n⊥BD, cho |BD|·(bề rộng) = 2|AC×BD|/(3·1)·... = 2·S_{ABCD}/3 = 20/3, suy ra V(BD, MNPQ) = 10/3. Do đó thể tích: V = 3∫₀¹ [ (20/9)t² + (20/3)t(1−t) ] dt = 3[ 20/27 + 10/9 ] = 3·50/27 = 50/9 ≈ 5.5556. Kết quả không phụ thuộc vị trí hình chiếu của S (chỉ phụ thuộc chiều cao và diện tích đáy). Vậy thể tích cần tìm ≈ 5.56 m³.