Biết đồ thị hàm số $y=a^x$ $(a>0,a\ne 1)$ và đồ thị hàm số $y={\log }_{b}x$ $(b>0,b\ne 1)$ cắt nhau tại điểm $A\left(\frac{1}{2};2\right)$. Tính giá trị của biểu thức $T=a^2+2b^2$.

Cho lăng trụ đứng tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=AC=a$ và cạnh bên $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$. Khi đó góc giữa hai đường thẳng $B{C}^{\prime }$ và $AC$ bằng

Thời gian truy cập internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau



Mốt của mẫu số liệu trên là

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(-3;5;15),B(20;-8;13),C(22;-37;18)$. Xác định tọa độ vectơ $\vec{u}=3\overrightarrow{AB}-5\overrightarrow{AC}$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có các đỉnh $A^{\prime }(3;5;-6),C^{\prime }(4;5;-5),B(2;1;2),D(1;-1;1)$. Tìm tọa độ đỉnh $A$.

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=\frac{u_n}{3.u_n+1}\end{array}(n\in N^{\ast }).$$ Số hạng $u_{2026}$ của dãy số là:

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

Câu trắc nghiệm đúng sai gồm các ý a), b), c), d).

Trong một công ty có 50 nhân viên, trong đó có 37 người thích chơi bóng bàn, 28 người thích chơi cầu lông. Chọn ngẫu nhiên một nhân viên trong công ty đó. Xác suất để người đó

Câu trắc nghiệm đúng sai gồm các ý a), b), c), d).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=8$ và $BC=4\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của $DC$. Biết $SM=SA=SB=\frac{8\sqrt{6}}{3}$.

Từ một khúc gỗ hình trụ tròn có đường kính thiết diện ngang bằng 40 cm, người ta muốn xẻ ra một thanh xà có thiết diện ngang là hình vuông và bốn tấm ván phụ (phần tô màu xám như hình vẽ). Biết bốn tấm ván phụ này có kích thước bằng nhau và cùng có chiều rộng là $xcm(x>0)$. Gọi S là tổng diện tích thiết diện ngang sử dụng được (bao gồm hình vuông và bốn miếng phụ). Hãy tìm chiều rộng x để diện tích S đạt giá trị lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm đơn vị là cm).

Để trang trí một ô hình chữ nhật với kích thước 80 cm×60 cm chiều ngang 80 chiều dọc 60 ( hình vẽ) trên tường căn phòng của mình, anh Bình dự định tô màu họa tiết giới hạn bởi parabol $(P)$ và cạnh hình chữ nhật (phần kí hiệu sọc nghiêng) bằng sơn màu vàng ; họa tiết giới hạn bởi parabol $(C)$ cùng các cạnh của ô chữ nhật (phần vùng tô đậm) bằng sơn màu xanh (như hình vẽ). Biết rằng các parabol $(P)$ và $(C)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $AB$ và diện tích (phần kí hiệu sọc nghiêng) dự định tô sơn vàng bằng $\frac{1600}{3}c{m}^2$. Tính tổng số tiền (đơn vị: triệu đồng) mà anh Bình cần phải trả để mua sơn trang trí. Biết mỗi lọ sơn, sơn được tối đa 30 $c{m}^2$. Cho biết giá của một lọ sơn vàng là 65000 đồng, giá của một lọ sơn xanh là 45000 đồng (biết rằng mỗi lọ sơn không được bán lẻ).

Sau nhà ông A có mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có chiều rộng $AB=5m$ và chiều dài $AD=6m$. ông A định thiết kế mảnh đất này để trồng rau sạch (mô hình như hình vẽ bên dưới). Mái lợp hình chữ nhật HEFG tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $30^{\circ }$ ; bốn trụ $EA$, $FB$, $HD$, $GC$ đều vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ ; $EA=FB=8m$ và $DH>EA$ (xem kích thước mái lợp HEFG không đáng kể).
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có đơn vị trên mỗi trục là mét (m) sao cho $D(0;0;0)$ ; tia DA trùng với tia Ox; tia DC trùng với tia Oy; tia DH trùng với tia Oz; mp(ABCD) trùng với mp(Oxy). Mặt phẳng (HEFG) có dạng : $x+by+cz+d=0$ (trong đó $b,c,d\in \mathbb{R}$). Tính $T=b+3c-5d$ ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị mét (m)).

Một sinh viên bắt đầu đi làm vào ngày 01/01/2023 với mức lương khởi điểm là a triệu đồng/tháng. Cứ sau mỗi chu kỳ 2 năm, mức lương của anh ta được tăng thêm 10\% so với mức lương của chu kỳ trước đó. Biết rằng anh ta dành 60\% lương để chi tiêu sinh hoạt và tiết kiệm toàn bộ phần còn lại để mua nhà. Tại thời điểm 01/01/2023, căn nhà anh ta dự định mua có giá 1 tỷ đồng và giá trị này cũng tăng thêm 5\% sau mỗi 2 năm. Hỏi mức lương khởi điểm a là bao nhiêu để sau 12 năm anh ta mua được nhà ( kết quả làm tròn đến hàng phần chục đơn vị triệu đồng)?

Chọn ngẫu nhiên 3 số $a,b,c$ trong tập hợp $S=\{1;2;...;28\}$. Biết xác suất để 3 số chọn ra thỏa mãn $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 3 bằng $\frac{m}{n}$ với $m,n\in N^{\ast }$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $T=m+n$.

Một tháp trưng bày nghệ thuật có dạng khối chóp với đỉnh là $S$ và đáy $ABCD$ là một hình bình hành. Chiều cao của tháp là 9 mét, diện tích đáy $ABCD$ là $10m^2$. Trên mỗi mặt bên của tháp, người ta thiết kế đặt một đèn trang trí có vị trí tại đúng trọng tâm của mặt đó. Gọi $M$, $N$, $P$ và $Q$ lần lượt là trọng tâm của các mặt bên $SAB$, $SBC$, $SCD$ và $SDA$. Ngoài ra, hai cột trang trí được đặt tại các điểm $B$ và $D$. Hãy giúp người kỹ sư tính thể tích không gian bên trong của khối đa diện lồi được tạo thành bởi các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$, $B$ và $D$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).