Lập phương trình chính tắc của elip $(E)$ trong các trường hợp sau:

a) Elip $(E)$ đi qua điểm $M(-2;12)$ và có một tiêu điểm $(-7;0)$.

b) Elip $(E)$ đi qua hai điểm $M\left(4;\sqrt{3}\right)$ và $N\left(2\sqrt{2};-3\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 13. Lập phương trình chính tắc của elip (E): x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0).

a) Elip có một tiêu điểm (-7; 0) nên c² = 49, tức a² = b² + 49. Elip đi qua M(-2; 12) nên 4/a² + 144/b² = 1. Thay a² = b² + 49, đặt t = b² > 0: 4/(t+49) + 144/t = 1 ⟹ 4t + 144(t + 49) = t(t + 49) ⟹ t² - 99t - 7056 = 0. Δ = 99² + 4·7056 = 38025 = 195², nên t = (99 + 195)/2 = 147 (nhận t > 0). Vậy b² = 147, a² = 196. Kiểm tra: 4/196 + 144/147 = 1/49 + 144/147 = 3/147 + 144/147 = 1 ✓. Phương trình: x²/196 + y²/147 = 1.

b) Elip đi qua M(4; √3) và N(2√2; -3): 16/a² + 3/b² = 1 và 8/a² + 9/b² = 1. Đặt u = 1/a², v = 1/b²: 16u + 3v = 1; 8u + 9v = 1. Trừ hai phương trình: 8u - 6v = 0 ⟹ u = 3v/4. Suy ra 12v + 3v = 1 ⟹ v = 1/15, u = 1/20. Vậy a² = 20, b² = 15 (thỏa a > b > 0). Phương trình: x²/20 + y²/15 = 1.