a) Tìm số hạng chứa $x^4$ trong khai triển $(2+3x{)}^5$.

b) Gọi $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $A_n^3+2A_n^2=48$. Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển nhị thức Newton của $(1-3x{)}^n$.

c) Tính tổng các hệ số trong khai triển $(1-2x{)}^5$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6:

a) Số hạng tổng quát trong khai triển $(2+3x{)}^5$ là $C_5^k\cdot 2^{5-k}\cdot (3x{)}^k$. Số hạng chứa $x^4$ ứng với $k=4$: $C_5^4\cdot 2^1\cdot 3^4=5\cdot 2\cdot 81=810$. Vậy số hạng chứa $x^4$ là $810x^4$.

b) Ta có $A_n^3+2A_n^2=48$ với $n$ nguyên dương, $n\ge 3$. Biến đổi: $n(n-1)(n-2)+2n(n-1)=n(n-1)[(n-2)+2]=n^2(n-1)=48$. Thử $n=4$: $4^2\cdot 3=48$ thỏa mãn (các giá trị $n$ khác không thỏa vì $n^2(n-1)$ tăng nhanh theo $n$). Vậy $n=4$.

Số hạng tổng quát của $(1-3x{)}^4$ là $C_4^k(-3x{)}^k$. Hệ số của $x^3$ ứng với $k=3$: $C_4^3\cdot (-3{)}^3=4\cdot (-27)=-108$.

c) Tổng các hệ số của $(1-2x{)}^5$ bằng giá trị của đa thức tại $x=1$: $(1-2{)}^5=(-1{)}^5=-1$.