Giải các bất phương trình sau:

a) $3x^3+2x+1\le 0$

b) $x^2+x-12<0$

c) $-36x^2+12x-1\ge 0$

d) $-2x^2+3x-1\ge 0$

(AI giải đề cho tôi)
Giải bốn bất phương trình:

a) Xét $f(x)=3x^3+2x+1$. Ta có $f^{\prime }(x)=9x^2+2>0$ với mọi $x$, nên $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và có đúng một nghiệm thực $\alpha$. Theo công thức Cardano với $x^3+\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}=0$:
$$\alpha =\sqrt[3]{-\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{113}}{54}}+\sqrt[3]{-\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{113}}{54}}\approx -0,4023.$$
Vì $f$ đồng biến và $f(\alpha )=0$, nên $f(x)\le 0\iff x\le \alpha$. Vậy tập nghiệm là $S=\left(-\infty ;\sqrt[3]{-\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{113}}{54}}+\sqrt[3]{-\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{113}}{54}}\right]\approx (-\infty ;-0,4023]$.

b) $x^2+x-12<0\iff (x+4)(x-3)<0\iff -4<x<3$. Vậy $S=(-4;3)$.

c) $-36x^2+12x-1\ge 0\iff 36x^2-12x+1\le 0\iff (6x-1{)}^2\le 0$. Vì bình phương không âm, bất đẳng thức chỉ xảy ra khi $(6x-1{)}^2=0$, tức $x=\frac{1}{6}$. Vậy $S=\left\{\frac{1}{6}\right\}$.

d) $-2x^2+3x-1\ge 0\iff 2x^2-3x+1\le 0\iff (2x-1)(x-1)\le 0\iff \frac{1}{2}\le x\le 1$. Vậy $S=\left[\frac{1}{2};1\right]$.

Kiểm tra: b) tại $x=0$: $-12<0$ đúng; c) tại $x=1/6$: $-36\cdot \frac{1}{36}+2-1=0\ge 0$ đúng; d) tại $x=1$: $-2+3-1=0\ge 0$ đúng; a) $f(-0.5)=-0.375<0$, $f(0)=1>0$ phù hợp nghiệm $\alpha \approx -0,4023$.