Cho biểu thức: $g(x)=-x^2-2x+m^2-4m+3$ ($m$ là tham số).

a) Tìm $m$ để $g(x)\le 0$ với mọi số thực $x$.

b) Tìm $m$ để phương trình $g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3: $g(x)=-x^2-2x+m^2-4m+3$.

a) $g(x)\le 0$ với mọi $x$ khi và chỉ khi $a=-1<0$ và $\Delta \le 0$. Ta có $\Delta =(-2{)}^2-4(-1)(m^2-4m+3)=4+4(m^2-4m+3)=4(m^2-4m+4)=4(m-2{)}^2$. Điều kiện $\Delta \le 0\iff (m-2{)}^2\le 0\iff m=2$. Vậy $m=2$ (khi đó $g(x)=-(x+1{)}^2\le 0$ với mọi $x$).

b) Phương trình $g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khi $\Delta >0\iff 4(m-2{)}^2>0\iff m\ne 2$. Theo Vi-ét: $x_1+x_2=-2$, $x_1{x}_2=-(m^2-4m+3)$. Giả sử $x_2=3x_1$, khi đó $4x_1=-2\Rightarrow x_1=-\frac{1}{2}$, $x_2=-\frac{3}{2}$, nên $x_1{x}_2=\frac{3}{4}$. Suy ra $-(m^2-4m+3)=\frac{3}{4}\iff m^2-4m+\frac{15}{4}=0$. Giải: ${\Delta }^{\prime }=4-\frac{15}{4}=\frac{1}{4}$, $m=2\pm \frac{1}{2}$, tức $m=\frac{3}{2}$ hoặc $m=\frac{5}{2}$ (đều thỏa $m\ne 2$). Kiểm tra: với $m=\frac{3}{2}$, $m^2-4m+3=-\frac{3}{4}$ nên $x_1{x}_2=\frac{3}{4}$ ✓. Vậy $m\in \left\{\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right\}$.