Một viên gạch hình vuông có cạnh thay đổi được đặt nội tiếp trong một hình vuông có cạnh bằng 20 cm, tạo thành bốn tam giác xung quanh như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của $x$ để diện tích viên gạch không vượt quá $208{\text{cm}}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, bốn tam giác xung quanh là các tam giác vuông bằng nhau với hai cạnh góc vuông là $x$ và $20-x$ (vì cạnh hình vuông lớn bằng 20 cm). Cạnh viên gạch là cạnh huyền của tam giác vuông này nên bình phương cạnh viên gạch bằng $x^2+(20-x{)}^2$.

Diện tích viên gạch:
$$S=x^2+(20-x{)}^2=2x^2-40x+400.$$

Yêu cầu $S\le 208$:
$$2x^2-40x+400\le 208\iff x^2-20x+96\le 0.$$

Phương trình $x^2-20x+96=0$ có $\Delta =400-384=16$, nghiệm $x=\frac{20\pm 4}{2}$, tức $x=8$ hoặc $x=12$.

Kết hợp điều kiện $0<x<20$ (để tạo thành bốn tam giác xung quanh), ta được:
$$8\le x\le 12.$$

Kiểm tra: $x=10$ thì $S=100+100=200\le 208$ (thỏa mãn); $x=7$ thì $S=49+169=218>208$ (loại); $x=13$ thì $S=169+49=218>208$ (loại).

Vậy $x\in [8;12]$ (cm).