Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$. Biết góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $60^{\circ }$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa SC và (ABCD) là góc SCA = 60°, với AC = a√2 nên SA = AC·tan60° = a√6, SC = √(SA²+AC²) = 2a√2.
a) Trong tam giác SBC: SB = √(SA²+AB²) = a√7, cos∠SCB = (SC²+BC²−SB²)/(2·SC·BC) = (8a²+a²−7a²)/(2·2a√2·a) = 1/(2√2), suy ra ∠SCB ≈ 69,3° ≠ 60°. Sai.
b) Đường cao SA = a√6 ≠ a√3. Sai.
c) BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ SB, do đó góc giữa (SBC) và (ABCD) là góc giữa BA và SB: cosφ = AB/SB = 1/√7, φ ≈ 67,79° ≈ 68° ≠ 67°. Sai.
d) Gọi O là tâm hình vuông, AO ⊥ BD với AO = a√2/2. Mặt phẳng (SOA) ⊥ BD nên góc nhị diện [S,BD,C] là góc nhị diện tương ứng với góc SOA, nhưng A và C nằm khác phía đối với BD nên số đo góc nhị diện = 180° − ∠SOA. tan∠SOA = SA/AO = a√6/(a√2/2) = 2√3, ∠SOA ≈ 73,90°, vậy góc nhị diện ≈ 106,10° ≈ 106°. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa SC và (ABCD) là ∠SCA = 60°, không phải ∠SCB. Tính trực tiếp: cos∠SCB = 1/(2√2) nên ∠SCB ≈ 69,3° ≠ 60°.
b) (AI giải đề cho tôi)
SA = AC·tan60° = a√2·√3 = a√6 ≠ a√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa (SBC) và (ABCD) là góc SBA (vì BC ⊥ AB, BC ⊥ SB): cosφ = AB/SB = 1/√7, φ ≈ 67,79° làm tròn thành 68°, không phải 67°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Gọi O tâm hình vuông, (SOA) ⊥ BD, tan∠SOA = SA/AO = 2√3 nên ∠SOA ≈ 73,90°. Vì A và C khác phía đối với BD, góc nhị diện [S,BD,C] = 180° − 73,90° ≈ 106,10° ≈ 106°. Đúng.