Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $3a$, cạnh $SA=a$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$; $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $SC$. Thể tích của khối tứ diện $AMNG$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $A^{\prime },B^{\prime }$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB$. Gọi $V_1,V_2$ lần lượt là thể tích của khối chóp $S.A^{\prime }{B}^{\prime }C$ và $S.ABC$. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$.

Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có thể tích bằng $2018$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Mặt phẳng $(M{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ chia khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ thành hai khối đa diện. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh $A$.

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $E$ là trung điểm cạnh $A{A}^{\prime }$ và $F$ thuộc cạnh $B{B}^{\prime }$ thỏa mãn $BF=2F{B}^{\prime }$; đường thẳng $CE$ cắt đường thẳng $C^{\prime }{A}^{\prime }$ tại $E^{\prime }$, đường thẳng $CF$ cắt đường thẳng $C^{\prime }{B}^{\prime }$ tại $F^{\prime }$. Thể tích khối đa diện $EF{A}^{\prime }{B}^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }$ bằng

Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có độ dài cạnh đáy và cạnh bên bằng $a$. Gọi các điểm $M,N,E$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,C{C}^{\prime },A^{\prime }{C}^{\prime }$. Mặt phẳng $(MNE)$ chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần có thể tích $V_1,V_2$ ($V_1$ là thể tích khối đa diện chứa điểm $A$). Tỷ số $\frac{V_1}{V_2}$ bằng

Bác thợ mộc có một khúc gỗ quý đồng chất dạng hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Khúc gỗ được định giá theo trọng lượng với mỗi ki-lô-gam có giá là 6 triệu đồng. Một khách hàng đến mua một phần của khúc gỗ và yêu cầu bác thợ cắt theo mặt phẳng $(B^{\prime }MN)$ với $M,N$ lần lượt là trung điểm hai cạnh $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Giả sử khối gỗ ban đầu có trọng lượng $4kg$ và phần mép cắt không đáng kể. Số tiền mà khách hàng bỏ ra để mua phần khúc gỗ có thể tích nhỏ hơn là

Bác thợ mộc có một khúc gỗ quý đồng chất dạng hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Khúc gỗ được định giá theo trọng lượng với mỗi ki-lô-gam có giá là 6 triệu đồng. Một khách hàng đến mua một phần của khúc gỗ và yêu cầu bác thợ cắt theo mặt phẳng $(B^{\prime }MN)$ với $M,N$ lần lượt là trung điểm hai cạnh $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Giả sử khối gỗ ban đầu có trọng lượng $4kg$ và phần mép cắt không đáng kể. Số tiền mà khách hàng bỏ ra để mua phần khúc gỗ có thể tích nhỏ hơn là