Bác thợ mộc có một khúc gỗ quý đồng chất dạng hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Khúc gỗ được định giá theo trọng lượng với mỗi ki-lô-gam có giá là 6 triệu đồng. Một khách hàng đến mua một phần của khúc gỗ và yêu cầu bác thợ cắt theo mặt phẳng $(B^{\prime }MN)$ với $M,N$ lần lượt là trung điểm hai cạnh $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Giả sử khối gỗ ban đầu có trọng lượng $4kg$ và phần mép cắt không đáng kể. Số tiền mà khách hàng bỏ ra để mua phần khúc gỗ có thể tích nhỏ hơn là

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(0;1;0)$, $A^{\prime }(0;0;1)$, $B^{\prime }(1;0;1)$, $C^{\prime }(0;1;1)$. Khi đó $M(0,5;0;0)$, $N(0;0,5;1)$. Mặt phẳng $(B^{\prime }MN)$ có phương trình $2x+4y-z-1=0$. Kiểm tra vị trí các đỉnh: $A$, $A^{\prime }$ nằm cùng một phía (âm), còn $B$, $C$, $C^{\prime }$ nằm phía kia (dương), nên phần nhỏ hơn là khối đa diện có các đỉnh $A$, $A^{\prime }$, $M$, $B^{\prime }$, $N$ và điểm $P$ là giao của mặt phẳng với cạnh $AC$: với $z=0$, $x=0$ ta được $y=\frac{1}{4}$, tức $P(0;\frac{1}{4};0)$. Thể tích khối nhỏ hơn tính bằng cách phân tách thành các tứ diện đỉnh chung $A^{\prime }$: $V_{A^{\prime }AMP}=\frac{1}{48}$, $V_{A^{\prime }MPN}=\frac{1}{24}$, $V_{A^{\prime }M{B}^{\prime }N}=\frac{1}{12}$, tổng $V_{nhỏ}=\frac{7}{48}$. Thể tích khúc gỗ ban đầu $V=\frac{1}{2}$ (đáy tam giác vuông cân cạnh $1$ diện tích $\frac{1}{2}$ nhân chiều cao $1$). Tỉ số thể tích phần nhỏ: $\frac{7/48}{1/2}=\frac{7}{24}$. Khối lượng phần nhỏ: $4\cdot \frac{7}{24}=\frac{7}{6}$ kg. Số tiền: $\frac{7}{6}\cdot 6=7$ triệu đồng.