Cho hình chóp đều $S.ABC$, gọi $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SA,SB,SC$. Tính thể tích khối chóp cụt đều $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }.ABC$, biết thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng 6.

Một tháp trưng bày nghệ thuật có dạng khối chóp với đỉnh là $S$ và đáy $ABCD$ là một hình bình hành. Chiều cao của tháp là 9 mét, diện tích đáy $ABCD$ là $10m^2$. Trên mỗi mặt bên của tháp, người ta thiết kế đặt một đèn trang trí có vị trí tại đúng trọng tâm của mặt đó. Gọi $M$, $N$, $P$ và $Q$ lần lượt là trọng tâm của các mặt bên $SAB$, $SBC$, $SCD$ và $SDA$. Ngoài ra, hai cột trang trí được đặt tại các điểm $B$ và $D$. Hãy giúp người kỹ sư tính thể tích không gian bên trong của khối đa diện lồi được tạo thành bởi các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$, $B$ và $D$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $I$ là điểm thuộc $SO$ sao cho $SI=\frac{1}{3}SO$. Mặt phẳng $(\alpha )$ thay đổi đi qua $B$ và $I$ cắt các cạnh $SA$, $SC$, $SD$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$. Gọi $m$, $n$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}}$. Tính $\frac{m}{n}$?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, cạnh bên $BC=\sqrt{5}$, hai đáy $AB=11,CD=7$. Mặt phẳng $(\alpha )$ song song với $(ABCD)$ và cắt cạnh $SO$ tại $I$ sao cho $2SO=5SI$. Mặt phẳng $(\alpha )$ cắt các mặt của hình chóp theo các giao tuyến tạo thành một đa giác có diện tích bằng bao nhiêu?

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng 6. Gọi $I$ là điểm bất kì trong không gian sao cho biểu thức $P=4I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2+I{D}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó thể tích khối chóp $I.ABC$ bằng bao nhiêu? Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân.

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có thể tích $V$ và tất cả các cạnh đều bằng $a$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho tứ diện đều $SABC$ cạnh 10 cm. Gọi $E,F,P$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $SA,SB,SC$ sao cho $SE=\frac{2}{3}SA$, $SF=\frac{2}{3}SB$, $SP=\frac{2}{3}SC$. Tính thể tích của khối chóp cụt đều $ABC.EFP$, kết quả làm tròn đến hàng phần chục.