Cho lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có thể tích bằng $a^3$. Thể tích của khối chóp $A^{\prime }.ABC$ bằng

Cho tứ diện $ABCD$. Hai điểm $M$, $N$ lần lượt di động trên hai đoạn thẳng $BC$ và $BD$ sao cho $\frac{3BC}{BM}+\frac{4BD}{BN}=20$. Gọi $V_1$, $V_2$ lần lượt là thể tích của các khối tứ diện $ABMN$ và $ABCD$. Giá trị lớn nhất của $\frac{V_2}{V_1}$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có các cạnh $SA,SB,SC$ đôi một vuông góc với nhau, $SA=6,SB=8,SC=8$. Lấy $M,N,P$ lần lượt thuộc các cạnh $AB,AC,AS$ sao cho $AM=1,AN=2,AP=3$. Khối chóp $A.MNP$ có thể tích là bao nhiêu?

Cho hình chóp đều $S.ABC$, gọi $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SA,SB,SC$. Tính thể tích khối chóp cụt đều $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }.ABC$, biết thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng 6.

Một tháp trưng bày nghệ thuật có dạng khối chóp với đỉnh là $S$ và đáy $ABCD$ là một hình bình hành. Chiều cao của tháp là 9 mét, diện tích đáy $ABCD$ là $10m^2$. Trên mỗi mặt bên của tháp, người ta thiết kế đặt một đèn trang trí có vị trí tại đúng trọng tâm của mặt đó. Gọi $M$, $N$, $P$ và $Q$ lần lượt là trọng tâm của các mặt bên $SAB$, $SBC$, $SCD$ và $SDA$. Ngoài ra, hai cột trang trí được đặt tại các điểm $B$ và $D$. Hãy giúp người kỹ sư tính thể tích không gian bên trong của khối đa diện lồi được tạo thành bởi các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$, $B$ và $D$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $I$ là điểm thuộc $SO$ sao cho $SI=\frac{1}{3}SO$. Mặt phẳng $(\alpha )$ thay đổi đi qua $B$ và $I$ cắt các cạnh $SA$, $SC$, $SD$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$. Gọi $m$, $n$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}}$. Tính $\frac{m}{n}$?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, cạnh bên $BC=\sqrt{5}$, hai đáy $AB=11,CD=7$. Mặt phẳng $(\alpha )$ song song với $(ABCD)$ và cắt cạnh $SO$ tại $I$ sao cho $2SO=5SI$. Mặt phẳng $(\alpha )$ cắt các mặt của hình chóp theo các giao tuyến tạo thành một đa giác có diện tích bằng bao nhiêu?