Xét trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$.
Trong một đợt diễn tập quân sự của một đơn vị trên biển. Một mục tiêu đang di chuyển thẳng. Khi mục tiêu ở điểm $A(30;20;-10)$, một tên lửa được phóng ra từ điểm $B(20;20;-10)$ với nhiệm vụ là bắn trúng mục tiêu. Sau 5 giây mục tiêu ở vị trí $A^{\prime }(35;25;-15)$ và tên lửa ở vị trí $B^{\prime }(30;25;-15)$. Biết mục tiêu và tên lửa di chuyển theo đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $1m$), một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp thẳng đến vị trí $D$ cách $A$ một khoảng là $4050m$. Biết đường đi của cabin cùng phương với vectơ $\vec{u}(2;-2;1)$ và sau 3 phút kể từ khi xuất phát thì cabin đến vị trí $B$ có hoành độ $x_B=550$. Hỏi thời gian di chuyển của cabin trên quãng đường $AD$ là bao nhiêu phút?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị trên mỗi trục là km), một trạm kiểm soát hải quân phát hiện một chiếc tàu lạ ở vị trí $A(9;12;0)$ đang di chuyển theo hướng vectơ $\overrightarrow{v_1}=(-3;4;0)$ với vận tốc 30 km/h. Ngay lập tức trạm kiểm soát điều khiển một máy bay không người lái đang ở vị trí $B(0;0;1)$ di chuyển theo hướng vectơ $\overrightarrow{v_2}=(5;12;0)$ với vận tốc 130 km/h để tiếp cận chiếc tàu lạ đó. Hỏi sau bao nhiêu phút thì khoảng cách giữa máy bay không người lái và chiếc tàu lạ đó là ngắn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét) trong một căn phòng hình hộp chữ nhật cao 4m như hình sau. Có một bóng đèn treo đang ở vị trí B. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B xuống mặt sàn $(Oxy)$. Biết độ dài dây treo $AB=1m$, $\left(\vec{j},\overrightarrow{OH}\right)=30^{\circ }$, khoảng cách HK từ H đến trục Oy là 5m. Khi đó tọa độ của bóng đèn B là $B(a,b,c)$. Tính giá trị biểu thức $S=a+b^2+c$.

Một căn phòng hình hộp chữ nhật đặt trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (như hình vẽ). $AB=5m;BC=6m;A{A}^{\prime }=4m$. Người ta treo một cái đèn bóng tròn tại vị trí điểm $A^{\prime }$; có một giỏ hoa treo tại vị trí $M$ cách trần nhà $2m$, cách mặt phẳng $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $2m$, cách mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $1m$. Khi bật đèn sáng thì ảnh của giỏ hoa lên mặt đất tại vị trí $K$. Tìm tọa độ $K$.

Trong không gian với một hệ trục tọa độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1000;600;14)$ đến điểm $N(a;b;c)$ trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là $Q(1400;800;16)$. Tính $a+b$.

Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm 9 giờ 30 phút. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị km. Mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, $O$ trùng với vị trí trung tâm điều khiển.