Chọn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét) trong một căn phòng hình hộp chữ nhật cao 4m như hình sau. Có một bóng đèn treo đang ở vị trí B. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B xuống mặt sàn $(Oxy)$. Biết độ dài dây treo $AB=1m$, $\left(\vec{j},\overrightarrow{OH}\right)=30^{\circ }$, khoảng cách HK từ H đến trục Oy là 5m. Khi đó tọa độ của bóng đèn B là $B(a,b,c)$. Tính giá trị biểu thức $S=a+b^2+c$.

Một căn phòng hình hộp chữ nhật đặt trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (như hình vẽ). $AB=5m;BC=6m;A{A}^{\prime }=4m$. Người ta treo một cái đèn bóng tròn tại vị trí điểm $A^{\prime }$; có một giỏ hoa treo tại vị trí $M$ cách trần nhà $2m$, cách mặt phẳng $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $2m$, cách mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $1m$. Khi bật đèn sáng thì ảnh của giỏ hoa lên mặt đất tại vị trí $K$. Tìm tọa độ $K$.

Trong không gian với một hệ trục tọa độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1000;600;14)$ đến điểm $N(a;b;c)$ trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là $Q(1400;800;16)$. Tính $a+b$.

Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm 9 giờ 30 phút. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị km. Mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, $O$ trùng với vị trí trung tâm điều khiển.

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay sau 5 phút tiếp theo thì tọa độ của máy bay lúc này là $(a;b;c)$. Kết quả của phép tính $\frac{a+b+c}{2025}$ (làm tròn đến hàng phần chục) bằng bao nhiêu?

Một máy bay đang bay với vecto vận tốc $\vec{a}(630;600;18)$ (đơn vị: $km/h$) thì đến vị trí $M(100;200;8)$ gặp gió. Gió có vecto vận tốc $\vec{v}$ (đơn vị: $km/h$). Tại vị trí $M$, máy bay bị lệch hướng bay và tiếp tục bay thẳng trong vùng có gió 10 phút với vận tốc mới không đổi thì đến vị trí $N(210;303;12)$, biết 1 đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 1 km. Tính tốc độ của gió (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trong không gian $Oxyz$, một cabin cáp treo ở khu nghỉ dưỡng xuất phát từ điểm $A(-2;1;5)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(0;-2;6)$ với tốc độ là $4m/s$ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Giả sử sau $5(\mathrm{s})$ kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm $M$. Gọi toạ độ $M(a;b;c)$. Tính $a+3b+c$.