Giả sử ${\int }_0^2\frac{x-1}{x^2+4x+3}dx=a\ln 5+b\ln 3$; $a,b\in \mathbb{Q}$. Tính $P=a\cdot b$.

Câu 4. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và có một nguyên hàm trên $[a;b]$ là hàm số $F(x)$. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Câu 3. Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ và $g(x)=m{x}^3+n{x}^2+px+q(a,b,c,d,m,n,p,q\in \mathbb{R})$. Biết rằng đồ thị của hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-4,-1,4$ và $f(2)=2,g(2)=-3$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).



Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=-4,x=-1$. Gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=-1,x=4$. Tính tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có một nguyên hàm là $F(x)$. Biết rằng $F(1)=9$, $F(2)=5$. Giá trị của biểu thức ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Câu 4: Một viên gạch hình vuông $ABCD$ có cạnh $60$. Người ta trang trí viên gạch bằng các đường cong $(L_1),(L_2)$. $(L_1)$ là tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $MC=MA+50$ hoặc $MA=MC+50$. Khi quay đường cong $(L_1)$ quanh tâm viên gạch hình vuông đó một góc $90^{\circ }$ ta được đường cong $(L_2)$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $(L_1),(L_2)$ và các cạnh viên gạch (phần màu trắng, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-1;x=2$ (như hình vẽ). Đặt $a={\int }_{-1}^{0}f(x)dx,b={\int }_0^{2}f(x)dx$, mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho ${\int }_0^{2}f(x)dx=2$ và ${\int }_0^{2}g(x)dx=1$, khi đó ${\int }_0^2[f(x)-3g(x)]dx$ bằng