Có bao nhiêu số nguyên $y$ để với mỗi $y$ có đúng $2$ số thực $x$ thỏa mãn bất phương trình $\frac{2e^x}{\sqrt{8e^x-y}}+\ln (8e^x-y)\le 2x+2$?

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $m^2(x^4-x^3)-m(x^3-x^2)-x+e^{x-1}\ge 0$ đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$. Số tập con của $S$ là

Có bao nhiêu số nguyên $m$ để bất phương trình ${\log }_2\frac{3x^2+3x+m+1}{2x^2-x+1}<x^2-5x+2-m$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$?

Cho hàm số $f(x)=5^x$.

Một nhóm nghiên cứu khảo sát khả năng ghi nhớ kiến thức của sinh viên sau khi kết thúc khóa học. Giả sử sau $t$ tháng $(t\ge 0)$, tỉ lệ ghi nhớ trung bình của sinh viên (tính theo \%) được mô tả theo hàm số $$f(t)=75-k.{\log }_3(1+t),k\text{ laˋ ha˘ˋng soˆˊ.}$$ Biết rằng sau 2 tháng, tỉ lệ ghi nhớ trung bình của sinh viên còn lại là 55\%. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì tỉ lệ sinh viên còn nhớ được kiến thức giảm xuống dưới 10\%? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình $\frac{{\log }_3^{2}x-3{\log }_{3}x+2}{\sqrt{m-2^x}}<0$ có nghiệm đồng thời không có quá 3 nghiệm nguyên dương?

Bất phương trình $\ln \left(2x^2+3\right)>\ln \left(x^2+ax+1\right)$ nghiệm đúng với mọi số thực $x$ khi: