Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+5=0$. Giả sử $M\in (P)$ và $N\in (S)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với vectơ $\vec{u}=(1;0;1)$ và khoảng cách giữa $M$ và $N$ lớn nhất. Tính $MN$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+2y-z+9=0$ và điểm $A(1;2;-3)$. Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;4;-4)$ cắt $(P)$ tại $B$. Điểm $M$ thay đổi trên $(P)$ sao cho $M$ luôn nhìn đoạn $AB$ dưới một góc vuông. Độ dài $MB$ lớn nhất bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S_1)$ có tâm $I(2;1;1)$, bán kính $R_1=4$ và mặt cầu $(S_2)$ có tâm $J(2;1;5)$, bán kính $R_2=2$. Mặt phẳng $(P)$ thay đổi tiếp xúc với cả hai mặt cầu $(S_1),(S_2)$. Đặt $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm $O$ đến $(P)$. Giá trị $M+m$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;1;3)$, $B(-1;3;2)$, $C(-1;2;3)$. Phương trình mặt cầu có tâm $O$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(ABC)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;-3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x-2y-z+12=0$. Phương trình của $(S)$ là

Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm, 20 cm. Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm, biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm? Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;2)$ và bán kính $R=3$. Hai mặt phẳng $(P)$, $(Q)$ cùng chứa đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{4}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-5}{3}$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ lần lượt tại các điểm $A$, $B$. Đường thẳng $\Delta$ cắt mặt phẳng $(IAB)$ tại điểm $M$.
a) Tìm tọa độ điểm $M$.
b) Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.