Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+2y-z+9=0$ và điểm $A(1;2;-3)$. Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;4;-4)$ cắt $(P)$ tại $B$. Điểm $M$ thay đổi trên $(P)$ sao cho $M$ luôn nhìn đoạn $AB$ dưới một góc vuông. Độ dài $MB$ lớn nhất bằng

Trong không gian $Oxyz$, hãy tính số đo góc $\alpha$ giữa đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+4}{-1}$ và mặt phẳng $(P):5x+11y-2z-4=0$. (Đơn vị độ, làm tròn đến hàng đơn vị)

Trong không gian $Oxyz$, hãy tính số đo góc $\alpha$ giữa đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{1}$ và mặt phẳng $(P):5x+11y+2z-4=0$. (Đơn vị độ, làm tròn đến hàng đơn vị)

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB=BC=a,AD=2a$. Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ và $SA=a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,CD$. Tính sin của góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{-1}$ và mặt phẳng $(P):2x+y+z-8=0$. Tam giác $ABC$ có $A(-1;2;2)$, hai điểm $B,C$ di động trên $(P)$ và trọng tâm $G$ nằm trên đường thẳng $d$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Khi khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $BC$ đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng $BC$ có một vectơ chỉ phương là:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : . Gọi là góc giữa d và Oxy . Tính
1 2 2
sin .
1 2 2 2 1

Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 0;1; 2 ) và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y - 2 z + 1 = 0 . Gọi d là
đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( P ) . Biết A ( a; b;0 ) $\in$ d . Tính a + b .