Bác thợ mộc có một khúc gỗ quý đồng chất dạng hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Khúc gỗ được định giá theo trọng lượng với mỗi ki-lô-gam có giá là 6 triệu đồng. Một khách hàng đến mua một phần của khúc gỗ và yêu cầu bác thợ cắt theo mặt phẳng $(B^{\prime }MN)$ với $M,N$ lần lượt là trung điểm hai cạnh $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Giả sử khối gỗ ban đầu có trọng lượng $4kg$ và phần mép cắt không đáng kể. Số tiền mà khách hàng bỏ ra để mua phần khúc gỗ có thể tích nhỏ hơn là

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(0;2;0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$, $B^{\prime }(2;0;2)$, $C^{\prime }(0;2;2)$ thì thể tích khúc gỗ $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=2\cdot 2=4$. Ta có $M(1;0;0)$ (trung điểm $AB$), $N(0;1;2)$ (trung điểm $A^{\prime }{C}^{\prime }$). Mặt phẳng $(B^{\prime }MN)$ qua $B^{\prime }(2;0;2)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ tính từ $\vec{n}$... cụ thể $\vec{n}$ là tích có hướng của $\vec{n}$... : $\vec{n}=(2;4;-1)$, phương trình $2x+4y-z=2$ (thỏa cả ba điểm $M,N,B^{\prime }$). Mặt cắt giao các cạnh: với $AC$ ($x=0,z=0$) tại $P(0;\frac{1}{2};0)$; với $A^{\prime }{B}^{\prime }$ tại $B^{\prime }$; với $A^{\prime }{C}^{\prime }$ tại $N$; các giao điểm với $BC,B{B}^{\prime },C{C}^{\prime },A{A}^{\prime }$ nằm ngoài các cạnh. Vậy phần nhỏ là cụm lăng trụ tam giác với đáy dưới tam giác $AMP$ ($S_1=\frac{1}{4}$), đáy trên tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }N$ ($S_2=1$), chiều cao $h=2$, tiết diện giữa tại $z=1$ có diện tích $S_m=\frac{1}{2}\cdot 1,5\cdot 0,75=\frac{9}{16}$. Theo công thức thể tích cụm lăng trụ: $V_{nhỏ}=\frac{h}{6}(S_1+4S_m+S_2)=\frac{2}{6}\cdot (\frac{1}{4}+\frac{9}{4}+1)=\frac{7}{6}$. (Kiểm tra lại bằng cách phân tích thành các tứ diện $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }N,AM{B}^{\prime }N,AMNP$ cũng cho $\frac{2}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}$.) Tỉ số thể tích: $\frac{7/6}{4}=\frac{7}{24}$; khối lượng phần nhỏ: $4\cdot \frac{7}{24}=\frac{7}{6}$ kg; số tiền: $\frac{7}{6}\cdot 6=7$ triệu đồng. Vậy chọn đáp án C, trùng với đáp án nguồn.