Trong hình vẽ bên, các đường cong $(C_1):y=a^x;(C_2):y=b^x;(C_3):y=c^x$ và các đường thẳng $y=4;y=8$ tạo thành hình vuông $MNPQ$ có cạnh bằng 4.
Biết rằng $abc=2^{\frac{x}{y}}$ với $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{x}{y}$ tối giản, giá trị của $x+y$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, hình vuông MNPQ có cạnh nằm trên hai đường thẳng $y=4$, $y=8$, hai cạnh còn lại nằm trên hai đường thẳng đứng $x=x_1$ (qua $M,N$) và $x=x_2$ (qua $P,Q$), với $x_2-x_1=4$ (cạnh hình vuông bằng 4).

Quan sát hình: đường cong $C_2$ đi qua cả $M(x_1;4)$ và $P(x_2;8)$; đường cong $C_1$ đi qua $N(x_1;8)$; đường cong $C_3$ đi qua $Q(x_2;4)$.

Ta có hệ:
$$b^{x_1}=4,b^{x_2}=8,a^{x_1}=8,c^{x_2}=4,x_2-x_1=4.$$

Từ $b^{x_2}/b^{x_1}=8/4=2$ suy ra $b^{x_2-x_1}=2$, mà $x_2-x_1=4$ nên $b^4=2\Rightarrow b=2^{1/4}$.

Từ $b^{x_1}=4=2^2=2^{8\cdot 1/4}$ suy ra $x_1=8$, do đó $x_2=12$.

Suy ra:
$$a^8=8=2^3\Rightarrow a=2^{3/8};c^{12}=4=2^2\Rightarrow c=2^{2/12}=2^{1/6}.$$

Khi đó:
$$abc=2^{3/8}\cdot 2^{1/4}\cdot 2^{1/6}=2^{\frac{9+6+4}{24}}=2^{19/24}.$$

Vậy $abc=2^{x/y}$ với $\frac{x}{y}=\frac{19}{24}$ tối giản, $x=19,y=24$, nên $x+y=43$.

Kiểm tra lại tính nhất quán với hình vẽ: $C_1:y=2^{3x/8}$ cắt $y=4$ tại $x=8/3$ (bên trái $M$), cắt $y=8$ tại $x=8$ (đúng tại $N$); $C_2:y=2^{x/4}$ cắt $y=4$ tại $x=8$ (đúng tại $M$) và $y=8$ tại $x=12$ (đúng tại $P$); $C_3:y=2^{x/6}$ cắt $y=4$ tại $x=12$ (đúng tại $Q$). Mọi vị trí khớp với hình vẽ.

Đáp án: $x+y=43$.