Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đồ thị hàm mũ logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f(x)$ đối xứng với $y=a^x$ qua điểm $I(1;1)$, nên với điểm $(x;f(x))$ đối xứng với $(2-x;a^{2-x})$ qua $I$: $f(x)=2-a^{2-x}$. Khi đó $f\left(2+{\log }_a\frac{1}{2022}\right)=2-a^{-{\log }_a\frac{1}{2022}}=2-a^{{\log }_{a}2022}=2-2022=-2020$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y={\log }_{0,5}x$ với cơ số $0<0,5<1$. a) Tập xác định là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$ → Sai. b) Vì cơ số $0<a<1$ nên hàm nghịch biến trên $(0;+\infty )$ → Đúng. c) ${\log }_{0,5}1=0$ nên đồ thị cắt trục hoành tại $A(1;0)$ → Đúng. d) ${\log }_{0,5}\frac{1}{2}=1$ nên đồ thị đi qua $N\left(\frac{1}{2};1\right)$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của hàm logarit là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $0<0,5<1$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{0,5}1=0$ nên đồ thị cắt trục hoành tại $A(1;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{0,5}\frac{1}{2}=1$ nên đồ thị đi qua $N\left(\frac{1}{2};1\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị chỉ nằm bên phải trục Oy, đi qua điểm $(2;-1)$, nghịch biến và tiến tới $+\infty$ khi $x\to 0^{+}$: đây là đồ thị hàm $f(x)={\log }_{\frac{1}{2}}x$. a) Sai vì hàm nghịch biến trên $(0;+\infty )$. b) Sai vì đồ thị không đi qua $(0;1)$, tập xác định không phải $\mathbb{R}$, đây là hàm logarit chứ không phải $y=a^x$. c) Sai vì tập xác định là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$ (tập giá trị $T=\mathbb{R}$). d) Đúng vì ${\lim }_{x\to 0^{+}}{\log }_{\frac{1}{2}}x=+\infty$, phù hợp đồ thị tiệm cận trục Oy.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi xuống từ trái sang phải nên hàm nghịch biến trên $(0;+\infty )$, không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị không nhận giá trị $1$ tại $x=0$, tập xác định là $(0;+\infty )$; thực chất $f(x)={\log }_{\frac{1}{2}}x$ (vì $f(2)=-1$), là hàm logarit chứ không phải $y=a^x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=(0;+\infty )$ chứ không phải $\mathbb{R}$; tập giá trị là $T=\mathbb{R}$ chứ không phải $(0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 0^{+}$, đồ thị ${\log }_{\frac{1}{2}}x$ tiến lên $+\infty$ (trục Oy là tiệm cận đứng), nên ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị chỉ xác định với $x>0$, nghịch biến, đi qua điểm $(1;0)$ và tiệm cận trục $Oy$ khi $x\to 0^{+}$. Đây là đặc điểm của hàm số $y={\log }_{a}x$ với $0<a<1$, tức $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$. Các hàm mũ $y=2^x$ và $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và đi qua $(0;1)$, còn $y={\log }_{2}x$ đồng biến, nên loại A, C, D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ có tập xác định $x>0$ nên đồ thị nằm bên phải trục tung, đi qua điểm $(1;0)$ và nghịch biến vì cơ số $0<\frac{1}{2}<1$. Hình A là logarit đồng biến (cơ số $>1$); hình B và D là đồ thị hàm mũ (nằm phía trên trục hoành, đi qua $(0;1)$). Hình C thỏa mãn: nằm bên phải trục tung, đi qua $(1;0)$, nghịch biến, tiệm cận đứng là trục tung.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong đồng biến, chỉ xác định với $x>0$, có tiệm cận dọc là trục $Oy$, và đi qua điểm $(2;1)$ (theo đường chấm trong hình). Loại A vì $y=x-1$ là đường thẳng; loại C vì $y=2^x$ xác định với mọi $x$ và đi qua $(0;1)$; loại D vì $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ nghịch biến. Với $y={\log }_{2}x$: ${\log }_{2}2=1$ khớp điểm $(2;1)$, hàm đồng biến trên $(0;+\infty )$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ và $(1;3)$, đồng biến trên $\mathbb{R}$, có tiệm cận ngang $y=0$ khi $x\to -\infty$, nên là hàm số mũ $y=3^x={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-x}$. Kiểm tra: $y(0)=1$, $y(1)=3$ đúng theo đồ thị. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 8 = B).

Chọn B.
Nhìn vào đồ thị:
- Hàm số $y={\log }_{c}x$ nghịch biến nên $0<c<1$.
- Các hàm số $y={\log }_{a}x$ và $y={\log }_{b}x$ đồng biến nên $a,b>1$.
Kẻ đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị $y={\log }_{a}x$ tại điểm có hoành độ $x=a$, cắt đồ thị $y={\log }_{b}x$ tại điểm có hoành độ $x=b$. Dựa vào đồ thị ta thấy $1<a<b$.
Vậy ta có $c<a<b$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $(2;2)$, suy ra $2={\log }_{a}2⟺a^2=2⟺a=\sqrt{2}$ (vì cơ số $a>0,a\ne 1$).