Ba số ${\log }_2(8x)$ ; ${\left({\log }_{2}x\right)}^2$ ; ${\log }_4(2x)$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tính tổng tất cả các giá trị của $x$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Tổng các nghiệm của phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-x^3}=4^{x^2-2}$ bằng

Chu kì bán rã của chất phóng xạ Plutolium ${}^{239}Pu$ là 24360 năm (tức là một lượng chất ${}^{239}Pu$ sau 24360 năm phân hủy còn một nửa). Sự phân hủy này được tính theo công thức $S=A{e}^{-rt}$, trong đó $A$ là lượng chất phóng xạ ban đầu, $r$ là tỉ lệ phân hủy hàng năm, $t$ là thời gian phân hủy, $S$ là lượng còn lại sau thời gian phân hủy $t$. Hỏi 20 gam ${}^{239}Pu$ sau ít nhất bao nhiêu năm thì phân hủy còn 4 gam?

Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${\log }_{6}x={\log }_{9}y=\frac{1}{2}+{\log }_4\left(x+y\right)$. Giá trị của $\frac{x}{y}$ bằng

Cho hai đường cong $(C_1):y={\log }_{a}x$ và $(C_2):y={\log }_{b}x$. Đường thẳng $d_1:x=8$ cắt các đường cong $(C_1),(C_2)$ lần lượt tại $A$ và $B$; đường thẳng $d_2:x=4$ cắt đường cong $(C_2)$ tại $C$ (tham khảo hình vẽ). Biết rằng tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và $AB=2$. Hỏi ${\log }_2(ab)$ bằng bao nhiêu?

Tổng của tất cả các nghiệm của phương trình $2{\log }_2(x+5)+{\log }_2{x}^2=2{\log }_{2}6$ bằng bao nhiêu?

a) Tìm tất cả các giá trị nguyên không vượt quá 10 của tham số $m$ để phương trình
$${\log }_3^{2}27x-6{\log }_9\frac{x}{81}+m{\log }_{3}x+3m-23=0$$
có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1{x}_2\le 81$.
b) Cho điểm $M$ thay đổi trên parabol $y=x^2$, $H$ là hình chiếu của $M$ trên trục hoành. Gọi $x$ là hoành độ của $H$. Tính ${\lim }_{x\to +\infty }OM-MH$.