Bài 2 (1 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, với $H$ là trung điểm đoạn $AB$, $SH\perp (ABCD)$.

a) Chứng minh: $BC\perp (SAB)$.

b) Gọi $K$ là trung điểm đoạn $BC$. Chứng minh: $DK\perp SC$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2:

a) Vì $SH\perp (ABCD)$ nên $SH\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp AB$. Vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SH$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$.

b) Từ $BC\perp (SAB)$ suy ra $BC\perp SA$, tức $CK\perp SA$ (vì $K$ thuộc $BC$).

Gọi $I$ là trung điểm $AD$. Khi đó $IK$ là đoạn nối trung điểm của hình vuông, nên $IK\parallel AB$ và $IK\perp AD$. Mặt khác $SH\perp (ABCD)$ nên $SH\perp IK$. Vì $IK$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SH$ trong mặt phẳng $(SAD)$, suy ra $IK\perp (SAD)$, do đó $IK\perp SD$.

Ta chứng minh $DK\perp SC$ bằng phương pháp toạ độ: Đặt $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $H\left(\frac{a}{2};0;0\right)$, $S\left(\frac{a}{2};0;h\right)$ với $a=AB$, $h=SH>0$. Khi đó $K\left(a;\frac{a}{2};0\right)$.

Ta có $\overrightarrow{DK}=\left(a;-\frac{a}{2};0\right)$ (vì $K$ nằm trong mặt đáy) và $\overrightarrow{SC}=\left(\frac{a}{2};a;-h\right)$.

Tích vô hướng: $\overrightarrow{DK}\cdot \overrightarrow{SC}=a\cdot \frac{a}{2}+\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot a+0\cdot (-h)=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}+0=0$.

Vậy $\overrightarrow{DK}\perp \overrightarrow{SC}$, tức là $DK\perp SC$. (đpcm)

Nhận xét: Kết quả đúng với mọi chiều cao $SH$, không cần thêm dữ kiện nào.