Tính tích phân ${\int }_{\frac{\pi }{2}}^{-\frac{\pi }{2}}\cos t\mathrm{d}t$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P):x+y+z-3=0$ đi qua điểm nào dưới đây:

Nếu ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=2$ thì ${\int }_1^3\left[f(x)+2x\right]\mathrm{d}x$ bằng

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt[3]{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=8$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ có đồ thị như hình bên và $c\in [a;b]$. Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và các đường thẳng $y=0$, $x=a$, $x=b$. Mệnh đề nào sau đây sai?

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ $M(1;2;-3)$ đến $(P):x+2y+2z-10=0$ là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $A(2;-1;3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;3;-1)$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x+2y-z-6=0$. (Lưu ý: đề gốc in thiếu tọa độ hai điểm.)

Hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ thoả mãn $f(x)=3x+1-\frac{2}{x}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Cho đồ thị các hàm số $y=f(x)=x+1$ và $y=g(x)=(0,7{)}^x$ như hình vẽ.

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc $54km/h$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó $50m$ nên người đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-3t+15$ $(m/s)$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được trong $t$ $(s)$ kể từ lúc đạp phanh.

Cho $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx=-2$. Tính $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(3x-1-5f(x)\right)dx$

Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy $x$ (cm) $(0\le x\le 16)$ thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $R=10+\sqrt{x}$ (cm). Tìm $x$ (đơn vị cm, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để dung tích nước trong chậu bằng $\frac{1}{2}$ thể tích của chậu?

Biết góc quan sát ngang của một camera là $116^0$. Trong không gian $Oxyz$, camera được đặt tại điểm $A(1;4;2)$ và chiếu thẳng về phía mặt phẳng $(P):2x+y+2z-3=0$. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng $(P)$ của camera là hình tròn có đường kính bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần chục)

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm ngang trên mặt phẳng $(\alpha ):2x+y-3z+18=0$. Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng $(P):x-y=0$, $(Q):x+y-2z=0$. Hỏi chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn nhà đến nóc nhà (điểm cao nhất của mái nhà) là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Một mảnh đất hình tròn bán kính $15m$, người ta trồng hoa vào phần đất giới hạn bởi đường tròn và hai đường thẳng song song với nhau, cách đều tâm và cách nhau $22m$. Tính diện tích phần trồng hoa. (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Cho 3 điểm $A(0;-2;1);B(-3;2;2);C(2;1;5)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $B$ và vuông góc với $AC$ có phương trình: $ax+by+2z+d=0$. Tính $d$.