Hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ thoả mãn $f(x)=3x+1-\frac{2}{x}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int f(x)dx=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$ (trên từng khoảng của $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, hằng số $C$ có thể khác nhau trên $(0;+\infty )$ và $(-\infty ;0)$).

a) Sai: nguyên hàm đúng là $\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$, không phải $3+x-2\ln |x|+C$ (thiếu hệ số $\frac{3x^2}{2}$).

b) Sai: với $F(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$ và $F(3)=15$ thì $\frac{27}{2}+3-2\ln 3+C=15\Rightarrow C=15-\frac{33}{2}+2\ln 3$, nên $F(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+15-\frac{33}{2}+2\ln 3$, khác biểu thức đã cho (thay $x=3$ vào biểu thức đã cho không cho $15$).

c) Đúng: ${\int }_1^{2}f(x)dx=\left(\frac{3x^2}{2}+x-2\ln x\right){|}_1^2=(6+2-2\ln 2)-\left(\frac{3}{2}+1\right)=\frac{11}{2}-2\ln 2$.

d) Đúng: Vì $G$ là nguyên hàm trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, viết $G(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C_1$ với $x>0$ và $G(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C_2$ với $x<0$. Từ $G(2)=1$: $8-2\ln 2+C_1=1\Rightarrow C_1=-7+2\ln 2$. Từ $G(5)+G(-5)=10$: $\left(\frac{75}{2}+5-2\ln 5+C_1\right)+\left(\frac{75}{2}-5-2\ln 5+C_2\right)=75-4\ln 5+C_1+C_2=10\Rightarrow C_2=-58+4\ln 5-2\ln 2$. Khi đó $G(-10)=150-10-2\ln 10+C_2=140-2\ln 2-2\ln 5-58+4\ln 5-2\ln 2=82+2\ln 5-4\ln 2$. Vậy $a=-4,b=2,c=82\Rightarrow a+b+c=80$. Khớp với đáp án nguồn (S, S, Đ, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$, không phải $3+x-2\ln |x|+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $F(3)=15$ suy ra $C=15-\frac{33}{2}+2\ln 3$, nên biểu thức $F(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+15$ đã cho không thỏa $F(3)=15$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2\left(3x+1-\frac{2}{x}\right)dx={\left[\frac{3x^2}{2}+x-2\ln x\right]}_1^2=8-2\ln 2-\frac{5}{2}=\frac{11}{2}-2\ln 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hằng số nguyên hàm khác nhau trên hai khoảng $x>0$ và $x<0$: $C_1=-7+2\ln 2$ (từ $G(2)=1$), $C_2=-58+4\ln 5-2\ln 2$ (từ $G(5)+G(-5)=10$). Suy ra $G(-10)=82+2\ln 5-4\ln 2$, tức $a=-4,b=2,c=82$, vậy $a+b+c=80$.