Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy $x$ (cm) $(0\le x\le 16)$ thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $R=10+\sqrt{x}$ (cm). Tìm $x$ (đơn vị cm, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để dung tích nước trong chậu bằng $\frac{1}{2}$ thể tích của chậu?

Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\cos x$, $y=0$ (trục hoành) và hai đường thẳng $x=-\pi$, $x=\pi$. Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$ có thể tích là

Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{e^x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=\ln 2,x=\ln 7$ quanh trục $Ox$. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Hình elip được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, đặc biệt là kiến trúc xây dựng như đấu trường La Mã, tòa nhà Ellipse Tower Hà Nội, sử dụng trong thiết kế logo quảng cáo, thiết bị nội thất. Xét một Lavabo (bồn rửa) làm bằng sứ đặc hình dạng là một nửa khối elip tròn xoay có thông số kĩ thuật mặt trên của Lavabo là: dài $\times$ rộng: $660\times 380$ mm (tham khảo hình vẽ bên dưới), Lavabo có độ dày đều là $20$ mm. Tính thể tích chứa nước của Lavabo? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục, tính theo đơn vị $d{m}^3$)

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{9x+7}$, trục hoành và các đường thẳng $x=2;x=7$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục $Ox$ là

Cho hàm số $y=mx$ $(m>0)$ có đồ thị $(d)$ và hàm số $y=\sqrt{5-x}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$, đường thẳng $y=0$ và $x=0$ quanh trục $Ox$ và $V^{\prime }$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $H$ giới hạn bởi đồ thị $(C)$, đường thẳng $y=0$ và đường thẳng $(d)$ quanh trục $Ox$ (xem hình bên dưới).



a) Tính giá trị $V^{\prime }$ khi $m=2$.
b) Nếu $V=3V^{\prime }$ thì giá trị của $m$ bằng bao nhiêu?

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi parabol $(P):y=-x^2+4x$ và trục hoành. Khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích là $\frac{\pi a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+b$.