Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x+2y-z-6=0$. (Lưu ý: đề gốc in thiếu tọa độ hai điểm.)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x+2y-z-6=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;2;-1)$. a) $(Q)$ song song $(P)$ qua $N(3;2;-1)$ có dạng $2x+2y-z+c=0$; thay $N$: $6+4+1+c=0\Rightarrow c=-11$, nên $(Q):2x+2y-z-11=0$ → Đúng. b) $\vec{n}=(2;2;-1)$ là pháp tuyến của $(P)$ → Đúng. c) $d(A;(P))=\frac{|2\cdot 1+2\cdot (-2)-(-1)-6|}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{|2-4+1-6|}{3}=\frac{7}{3}$. Vì $\overrightarrow{AB}=\frac{5}{4}\overrightarrow{AK}$ với $K\in (P)$, điểm $B$ nằm trên đường thẳng $AK$ với $\frac{AB}{AK}=\frac{5}{4}$, nên $d(B;(P))=\left|\frac{5}{4}-1\right|\cdot d(A;(P))=\frac{1}{4}\cdot \frac{7}{3}=\frac{7}{12}\ne 5$ → Sai. d) Thay $M(1;-1;-6)$: $2(1)+2(-1)-(-6)-6=2-2+6-6=0$ nên $M\in (P)$; mệnh đề 'không thuộc' → Sai. Kết quả ĐĐSS khớp đáp án nguồn (mã đề 405, Phần II Câu 1).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(Q)$ song song $(P)$ qua $N(3;2;-1)$: dạng $2x+2y-z+c=0$, thay $N$ được $6+4+1+c=0\Rightarrow c=-11$, nên $2x+2y-z-11=0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $2x+2y-z-6=0$, vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;2;-1)$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(A;(P))=\frac{|2-4+1-6|}{3}=\frac{7}{3}$; vì $\overrightarrow{AB}=\frac{5}{4}\overrightarrow{AK}$, $K\in (P)$ nên $d(B;(P))=\frac{1}{4}\cdot \frac{7}{3}=\frac{7}{12}\ne 5$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(1;-1;-6)$: $2-2+6-6=0$ nên $M$ thuộc $(P)$; mệnh đề 'không thuộc' sai.