Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất toàn phần (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})$, với $P(A)=0,9$, $P(B|A)=1-0,01=0,99$, $P(\overline{A})=0,1$, $P(B|\overline{A})=1-0,06=0,94$. Vậy $P(B)=0,9\cdot 0,99+0,1\cdot 0,94=0,891+0,094=0,985$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là biến cố 'An chăm chỉ làm bài tập về nhà', P(H)=0,75 nên P(H̄)=0,25. Gọi T là biến cố 'An đạt điểm tốt', P(T|H)=0,9, P(T̄|H̄)=0,85 nên P(T|H̄)=0,15.
a) P(T̄|H)=1−P(T|H)=1−0,9=0,1 → đúng.
b) P(T|H̄)=1−0,85=0,15 ≠ 0,2 → sai.
c) Theo công thức xác suất toàn phần: P(T̄)=P(H)P(T̄|H)+P(H̄)P(T̄|H̄)=0,75·0,1+0,25·0,85=0,075+0,2125=0,2875 ≠ 0,35 → sai.
d) P(T)=0,75·0,9+0,25·0,15=0,675+0,0375=0,7125 → đúng (kiểm tra: 0,2875+0,7125=1).
a) (AI giải đề cho tôi)
P(T̄|H)=1−0,9=0,1.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(T|H̄)=1−0,85=0,15, không phải 0,2.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(T̄)=0,75·0,1+0,25·0,85=0,2875, không phải 0,35.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(T)=0,75·0,9+0,25·0,15=0,7125.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp 1 có 5 xanh, 7 đỏ (12 bi); hộp 2 có 6 xanh, 8 đỏ. a) P(Ā)=7/12 nên sai. b) Nếu A xảy ra, hộp 2 có 7 xanh, 8 đỏ (15 bi): P(B|A)=C(8,2)/C(15,2)=28/105=4/15, nên sai. c) Nếu Ā xảy ra, hộp 2 có 6 xanh, 9 đỏ: P(B|Ā)=C(9,2)/C(15,2)=36/105=12/35, đúng. d) P(B)=P(A)P(B|A)+P(Ā)P(B|Ā)=(5/12)(4/15)+(7/12)(12/35)=1/9+1/5=14/45, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(Ā)=7/12 vì hộp 1 có 7 viên đỏ trên 12 viên.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sau khi chuyển 1 bi xanh, hộp 2 có 8 đỏ trong 15 bi: P(B|A)=C(8,2)/C(15,2)=4/15.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sau khi chuyển 1 bi đỏ, hộp 2 có 9 đỏ trong 15 bi: P(B|Ā)=C(9,2)/C(15,2)=36/105=12/35.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(B)=(5/12)(4/15)+(7/12)(12/35)=1/9+1/5=14/45.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số quả cầu là 100. Xét giả thuyết $B$ (quả cầu màu đỏ) với $P(B)=\frac{40}{100}=0,4$ và $\overline{B}$ (màu vàng) với $P(\overline{B})=\frac{60}{100}=0,6$. Xác suất có điều kiện: $P(A|B)=\frac{20}{40}=0,5$ (số quả đỏ có đánh số là 20 trên 40 quả đỏ) và $P(A|\overline{B})=\frac{36}{60}=0,6$ (số quả vàng có đánh số là 36 trên 60 quả vàng). Theo công thức xác suất toàn phần: $P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})=0,4\cdot 0,5+0,6\cdot 0,6=0,2+0,36=0,56$. Kiểm tra trực tiếp: tổng số quả có đánh số là $20+36=56$ trên 100 quả, nên $P(A)=\frac{56}{100}=0,56$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố 'người được chọn bị bệnh cúm', $B$ là biến cố 'người được chọn phản ứng dương tính'. Theo đề: $P(A)=0,25$, $P(\bar{A})=0,75$, $P(B|A)=0,96$, $P(B|\bar{A})=0,08$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B)=P(A)P(B|A)+P(\bar{A})P(B|\bar{A})=0,25\cdot 0,96+0,75\cdot 0,08=0,24+0,06=0,30$. Vậy xác suất người được chọn có phản ứng dương tính là $0,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $T$ là biến cố 'người được chọn nghiện thuốc lá', $B$ là biến cố 'người được chọn mắc bệnh phổi'. Ta có $P(T)=0,25$, $P(B|T)=0,72$; người không nghiện chiếm $0,75$ và tỉ lệ mắc bệnh phổi trong nhóm này là $1-0,86=0,14$, tức $P(B|\bar{T})=0,14$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B)=P(T)P(B|T)+P(\bar{T})P(B|\bar{T})=0,25\cdot 0,72+0,75\cdot 0,14=0,18+0,105=0,285$. Làm tròn đến hàng phần trăm ta được $0,29$ hay $29\%$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'Thầy giáo rút được phiếu ở hộp thứ nhất chứa câu Bình thuộc' (P(A)=10/15=2/3), B là 'Bình trả lời được câu hỏi trong phiếu rút từ hộp thứ hai'. Sau khi chuyển 1 phiếu, hộp thứ hai có 10 phiếu.
- Nếu phiếu chuyển sang là câu Bình thuộc (xác suất 2/3): hộp hai có 9 câu Bình thuộc trong 10 phiếu, nên P(B|A)=9/10.
- Nếu phiếu chuyển sang là câu Bình không thuộc (xác suất 1/3): hộp hai có 8 câu Bình thuộc trong 10 phiếu, nên P(B|Ā)=8/10=4/5.
Theo công thức xác suất toàn phần:
P(B)=P(A)P(B|A)+P(Ā)P(B|Ā)=(2/3)(9/10)+(1/3)(4/5)=3/5+4/15=9/15+4/15=13/15≈0,867.
Vậy xác suất để bạn Bình trả lời được câu hỏi trong phiếu là 13/15.

(AI giải đề cho tôi)
a) Bảng số liệu (đơn vị: viên bi):



Giải thích: 50% của 60 viên bi xanh có dán nhãn là $0,5\cdot 60=30$ viên, còn lại $60-30=30$ viên không dán nhãn. 75% của 40 viên bi đỏ có dán nhãn là $0,75\cdot 40=30$ viên, còn lại $40-30=10$ viên không dán nhãn.

b) Xét biến cố $B$: “Viên bi được chọn có màu đỏ” với $P(B)=\frac{40}{100}=0,4$ và $P(\overline{B})=\frac{60}{100}=0,6$.

Xác suất có điều kiện:
$$P(A\mid B)=0,75\text{(75\% vieˆn bi đỏ coˊ daˊn nha˜n)},$$
$$P(A\mid \overline{B})=0,5\text{(50\% vieˆn bi xanh coˊ daˊn nha˜n)}.$$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
$$P(A)=P(B)P(A\mid B)+P(\overline{B})P(A\mid \overline{B})=0,4\cdot 0,75+0,6\cdot 0,5=0,3+0,3=0,6.$$

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra có dán nhãn là $P(A)=0,6=\frac{3}{5}$ (kiểm tra lại bằng bảng: tổng số viên có dán nhãn là $30+30=60$ trên tổng 100 viên, đúng bằng 0,6).

Theo nguồn (trang 38), lời giải in ngay dưới đề: $P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})=0,1.0,7+0,9.0,2=0,25$. Vậy xác suất để sáng đó tuyến phố H bị tắc đường là 0,25.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $T$ là biến cố 'bóng đèn đạt tiêu chuẩn (tốt)', $D$ là biến cố 'bóng đèn được công nhận là tốt (được đưa ra thị trường)'. Theo đề: $P(T)=0,9$, $P(D|T)=0,9$, và vì bóng đèn hỏng có xác suất $0,95$ bị loại bỏ nên $P(D|\overline{T})=1-0,95=0,05$. Theo công thức xác suất toàn phần:
$$P(D)=P(T)P(D|T)+P(\overline{T})P(D|\overline{T})=0,9\cdot 0,9+0,1\cdot 0,05=0,81+0,005=0,815.$$
Vậy tỉ lệ bóng đèn được đưa ra thị trường là $0,815$ tức $81,5\%$.

Đáp án A theo bảng đáp án chính thức của đề (MĐ 121, Câu 15, trang ĐÁP ÁN).

Kiểm tra bằng tính toán: Gọi X = đi xe máy, O = đi ô tô. Từ đề: P(X→O) = 0,3 nên P(X→X) = 0,7; P(O→X) = 0,6 nên P(O→O) = 0,4.
Thứ Tư đi ô tô. Xác suất đi xe máy:
- Thứ Năm: p₁ = 0,6.
- Thứ Sáu: p₂ = p₁·0,7 + (1 − p₁)·0,6 = 0,6·0,7 + 0,4·0,6 = 0,42 + 0,24 = 0,66 = 33/50.

Lưu ý: kết quả tính trực tiếp hai bước là 33/50, không trùng khớp chính xác với phương án A (2/3); tuy nhiên đáp án chính thức in trong bảng đáp án của đề là A. Đáp án được giữ nguyên theo nguồn, không tự suy diễn đáp án khác.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn 8 trong 16 cuốn để tặng, $|\Omega |=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{8}\right)=12870$ (cách tặng đều mỗi bạn 1 cuốn chỉ nhân cả tử và mẫu với cùng hệ số nên xác suất không đổi).

Gọi $A$: hết sách toán (tặng cả 8 cuốn toán), $B$: hết sách lý (tặng cả 5 cuốn lý), $C$: hết sách anh (tặng cả 3 cuốn anh). Cần tính $P(\overline{A}\cap \overline{B}\cap \overline{C})$.

- $|A|=1$ (phải tặng đúng 8 cuốn toán, không tặng cuốn nào khác).
- $|B|=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{3}\right)=165$ (tặng cả 5 lý, chọn 3 từ 11 cuốn còn lại).
- $|C|=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{5}\right)=1287$ (tặng cả 3 anh, chọn 5 từ 13 cuốn còn lại).
- $A\cap B$: cần tặng $8+5=13>8$ cuốn: vô lý, $|A\cap B|=0$. Tương tự $|A\cap C|=0$.
- $B\cap C$: tặng cả 5 lý và 3 anh đúng 8 cuốn: $|B\cap C|=1$.
- $A\cap B\cap C=\varnothing$.

Theo bao hàm - loại trừ:
$$|A\cup B\cup C|=1+165+1287-1=1452.$$
Số cách thuận lợi: $12870-1452=11418$.

$$P=\frac{11418}{12870}=\frac{173}{195}.$$

Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi X là số bi đỏ chuyển từ A sang B: P(đỏ)=5/8, P(vàng)=3/8.

Bước 2: từ B lấy 2 bi bỏ sang C.
- Nếu B có 3Đ2V (xác suất 5/8): P(2 đỏ)=C(3,2)/C(5,2)=3/10; P(1 đỏ)=6/10; P(0 đỏ)=1/10.
- Nếu B có 2Đ3V (xác suất 3/8): P(2 đỏ)=C(2,2)/C(5,2)=1/10; P(1 đỏ)=6/10; P(0 đỏ)=3/10.

Bước 3: C ban đầu 2Đ2V, sau khi thêm 2 bi có 6 bi; xác suất lấy 3 bi đỏ là C(r,3)/C(6,3)=C(r,3)/20 với r là số bi đỏ trong C.

Tính tổng:
- Trường hợp B=3Đ2V: r=4 với xs 3/10 cho C(4,3)/20=4/20; r=3 với xs 6/10 cho 1/20. Đóng góp: (5/8)[(3/10)(4/20)+(6/10)(1/20)] = (5/8)(18/200).
- Trường hợp B=2Đ3V: r=4 với xs 1/10 cho 4/20; r=3 với xs 6/10 cho 1/20. Đóng góp: (3/8)[(1/10)(4/20)+(6/10)(1/20)] = (3/8)(10/200).

Tổng: P = (90+30)/1600 = 120/1600 = 3/40. Vậy a=3, b=40, a−b=−37.

(AI giải đề cho tôi)
B. Phần tự luận (3,0 điểm). Câu 1 (1,0 điểm). Hộp có 8 bi xanh và 6 bi đỏ (tổng 14 bi). Gọi A là biến cố 'Sơn lấy được bi xanh', B là biến cố 'Tùng lấy được bi xanh'. Ta cần tính P(B) theo công thức xác suất toàn phần.

- Nếu Sơn lấy bi xanh: $P(A)=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$. Khi đó hộp còn 13 bi trong đó 7 bi xanh, nên $P(B|A)=\frac{7}{13}$.
- Nếu Sơn lấy bi đỏ: $P(\bar{A})=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$. Khi đó hộp còn 13 bi trong đó 8 bi xanh, nên $P(B|\bar{A})=\frac{8}{13}$.

Theo công thức xác suất toàn phần:
$$P(B)=P(A)\cdot P(B|A)+P(\bar{A})\cdot P(B|\bar{A})=\frac{4}{7}\cdot \frac{7}{13}+\frac{3}{7}\cdot \frac{8}{13}=\frac{4}{13}+\frac{24}{91}=\frac{28}{91}+\frac{24}{91}=\frac{52}{91}=\frac{4}{7}.$$

Vậy xác suất để bạn Tùng lấy được một bi màu xanh là $\frac{4}{7}\approx 0,5714$.

Nhận xét: Kết quả bằng đúng tỉ lệ bi xanh ban đầu $\left(\frac{8}{14}=\frac{4}{7}\right)$, điều này đúng theo nguyên lý đối xứng: do cách lấy ngẫu nhiên, mỗi bi có xác suất như nhau được người thứ hai lấy ra.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố 'ném trúng quả đầu tiên', $B$ là biến cố 'ném trúng quả thứ hai'. Ta có $P(A)=0,7$, $P(B|A)=0,9$, $P(B|\bar{A})=0,6$, suy ra $P(\bar{A})=0,3$. Xác suất ném trúng đúng một quả gồm hai trường hợp: trúng quả đầu, trượt quả thứ hai: $P(A\cap \bar{B})=0,7\cdot (1-0,9)=0,07$; trượt quả đầu, trúng quả thứ hai: $P(\bar{A}\cap B)=0,3\cdot 0,6=0,18$. Vậy $P=0,07+0,18=0,25$. Kết quả trùng với đáp án biểu điểm (10C).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố ném trúng quả đầu tiên, P(A)=0,6. Xác suất ném trúng đúng một quả gồm hai trường hợp: trúng quả đầu và trượt quả thứ hai: 0,6·(1−0,8)=0,6·0,2=0,12; trượt quả đầu và trúng quả thứ hai: (1−0,6)·0,4=0,4·0,4=0,16. Tổng: 0,12+0,16=0,28. Vậy chọn C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(B)=1-P(\overline{B})=1-0,2=0,8$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(A)=P(B)\cdot P(A|B)+P(\overline{B})\cdot P(A|\overline{B})=0,8\cdot 0,5+0,2\cdot 0,3=0,4+0,06=0,46$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức xác suất toàn phần: $P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})$ vì $B$ và $\overline{B}$ là hai biến cố đối nhau và $A=AB\cup A\overline{B}$. Do đó khẳng định đúng là D.