Đề Khảo Sát Học Sinh Giỏi Liên Trường Môn Toán 12 Sở GD&ĐT Ninh Bình 2025-2026 - Đề Số 2

Một anh phục vụ bàn đang phục vụ trong một khu vực có 4 bàn đặt tại $A,B,C,D$ với khoảng cách (được tính theo đơn vị mét) được ghi như các trọng số của các cạnh trong hình bên. Anh nhân viên này xuất phát từ một bàn $A$ và phải đi qua tất cả các bàn và phải quay về vị trí ban đầu, mỗi bàn chỉ được đi qua một lần (trừ lần trở về bàn ban đầu). Hỏi quãng đường ngắn nhất để anh nhân viên thực hiện được công việc là bao nhiêu mét?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ là $\frac{a\sqrt{15}}{5}$, khoảng cách giữa $SA$ và $BC$ là $\frac{a\sqrt{15}}{5}$. Biết hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ nằm trong tam giác $ABC$, tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Anh Bình vay tiền ngân hàng 1 tỷ đồng theo phương thức trả góp (chịu lãi số tiền chưa trả) với lãi suất 0,5\% / tháng. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh Bình trả 30 triệu đồng thì sau bao nhiêu tháng anh Bình trả hết nợ?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thap $AD\parallel BC$, $AD=2BC$. Gọi $M$ là điểm thuộc đoạn $SD$ sao cho $SD=3SM$. Gọi $F$ là giao điểm của đường thẳng $SC$ với mặt phẳng $(ABM)$. Tính tỉ số $\frac{SF}{SC}$.

Thầy chủ nhiệm có 16 cuốn sách đôi một khác nhau gồm 8 cuốn sách toán, 5 cuốn sách lý và 3 cuốn sách anh. Thầy lấy 8 cuốn tặng đều cho 8 bạn học sinh. Tính xác suất để sau khi tặng mỗi loại sách còn ít nhất một cuốn.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $BC=a\sqrt{5}$, $M$ là trung điểm của $BC$ và có $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=-\frac{3a^2}{2}$. Tính cạnh $AB$, $AC$.

Cho phương trình $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{3}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$. Gọi $M$, $m$ lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình. Tổng của $M+m$ là

Cho hàm số $y=x^3-2025x$ có đồ thị là $(C)$. Gọi $M_1$ là điểm trên $(C)$ có hoành độ $x_1=1$. Tiếp tuyến của $(C)$ tại $M_1$ cắt $(C)$ tại điểm $M_2$ khác $M_1$, tiếp tuyến của $(C)$ tại $M_2$ cắt $(C)$ tại điểm $M_3$ khác $M_2$, tiếp tuyến của $(C)$ tại $M_{n-1}$ cắt $(C)$ tại điểm $M_n$ khác $M_{n-1}$ với $(n=4,5,...)$. Gọi $(x_n;y_n)$ là tọa độ điểm $M_n$. Tìm $n$ sao cho $2025x_n+y_n+2^{2025}=0$.

Cho dãy số $(u_n)$ với $\{\begin{array}{l}{u}_1=-1\\ u_{n+1}=u_n+4n\end{array}$. Số hàng tổng quát $u_n$ của dãy số là

Cho hình hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Chọn đẳng thức sai?

Cho ${\left(\frac{3-2x}{\sqrt{4x-1}}\right)}^{\prime }=\frac{ax-b}{(4x-1)\sqrt{4x-1}}$, $\forall x>\frac{1}{4}$. Tính $\frac{a}{b}$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;0)$, $B(3;4;1)$, $D(-1;3;2)$. Tìm tọa độ điểm $C$ sao cho $ABCD$ là hình thap có hai cạnh đáy $AB$, $CD$ và có góc $C$ bằng $45^{\circ }$.

Cho 7 chữ số $0,2,3,4,5,6,8$. Lập các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau từ 7 chữ số đã cho. Tính tổng của các số lập được.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(4;0;0)$, $B(-4;0;0)$ và $C(0;6;1)$. Gọi $M$ là một điểm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA+MB=10$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MC$?

Hằng ngày anh Hòa đi làm bằng xe máy hoặc ô tô. Nếu hôm nay anh Hòa đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau anh Hòa đi làm ô tô là $0,3$. Nếu hôm nay anh Hòa đi bằng ô tô thì xác suất để hôm sau anh Hòa đi bằng xe máy là $0,6$. Xét một tuần mà thứ Tu anh Hòa đi làm bằng ô tô. Xác suất để thứ Sáu anh Hòa đi làm bằng xe máy bằng

Mức lương hàng tháng ở 1 công ty được Công đoàn thu thập theo bảng sau (đơn vị triệu đồng):



Chủ tịch Công đoàn muốn đề nghị hỗ trợ cho nhóm $25\%$ số nhân viên có mức lương thấp nhất và ước lượng rằng số nhân viên này không ít hơn $a$ người. Khi đó giá trị $a$ có hợp lí là bao nhiêu?

Biết $f^{\prime }(x)=x\left(x^2-1\right)\left(x^2-2\right)$. Hỏi hàm số $f(x)$ có bao nhiêu điểm cực đại?

Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\log }_3(x+2)-{\log }_{\frac{1}{3}}(x-2)\le 3$ là

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{3+2x}-1}{x+1}& \text{khi }x>-1\\ 2025x+2026& \text{khi }x\le -1\end{array}$. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, với $P(A)=0,2024$, $P(B)=0,2025$. Tính $P(A|B)$

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-4)$, $B(1;2;0)$, $C(0;2;0)$.

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố $A$ ở vĩ độ $45^0$ bắc trong ngày thứ $t$ của một năm không nhuận được cho bởi hàm số $d(t)=3\sin \left(\frac{\pi }{182}(t-80)\right)+12$, với $t\in \mathbb{Z},0<t\le 365$?

Cho hàm số $y=f(x)={\log }_2(2x-4)$ có tập xác định là $D$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$.

Cho hàm đa thức $y=f(x)$ có đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là đường cong trong hình vẽ bên

Trong một trò chơi bốc thăm trúng thưởng có luật chơi như sau: Ban tổ chức chuẩn bị hai hộp chứa các phiếu bốc thăm, hộp I có 10 phiếu đánh số từ 1 đến 10, hộp II có 15 phiếu đánh số từ 11 đến 25. Người chơi bốc 2 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, rồi từ hộp thứ hai người chơi bốc ra 5 phiếu. Nếu tổng bình phương các số trên phiếu bốc được từ hộp thứ hai là một số chia hết cho 4 thì trúng thưởng. Bạn Khánh An là người đầu tiên chơi

Người ta muốn lắp đặt một ống dẫn dầu từ nhà máy lọc dầu ở vị trí A đến kho chứa dầu đặt ở vị trí B qua một con sông rộng $2km$, dài $6km$. Chi phí lắp đặt đường ống dẫn dầu trên mặt đất để nối từ nhà máy lọc dầu đến trạm trung chuyển tại vị trí P là 4 tỷ VND/ $1km$ và chi phí lắp đặt ống dẫn dầu dưới dòng sông để nối từ P đến kho chứa dầu tại vị trí B là 8 tỷ VND/1km (như hình vẽ dưới). Hỏi để chi phí lắp đặt ít nhất cần đặt vị trí P cách nhà máy lọc dầu là bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Một máy bay không người lái bay lên tại 1 điểm. Sau một thời gian bay, cách điểm xuất phát về phía Bắc $50(km)$ và về phía Tây $20(km)$, đồng thời cách mặt đất $1(km)$. Lúc đó máy bay cách vị trí tại điểm xuất phát của nó là $a(km)$, giá trị của $a$ là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Một túp lều có dạng hình chóp với đáy là hình thoi cạnh bằng $4m$. Trong bốn mặt bên thì có hai mặt bên kề nhau là hai tam giác đều. Tính chiều cao của túp lều để khoảng không gian bên trong nó là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Trong đợt cúng hộ sách giáo khoa cho những học sinh bị ảnh hưởng do trận lũ lụt vừa qua, lớp 12A nhận được 20 cuốn sách gồm 5 cuốn sách toán học, 7 cuốn sách Vật lí, 8 cuốn sách Hóa học, các sách cùng môn học là giống nhau. Số sách này được chia đều cho 10 học sinh, mỗi học sinh chỉ được nhận đúng 2 cuốn sách khác môn học. Trong số 10 học sinh nhận sách đợt này có bạn Hưng và bạn Thành. Tính xác suất để 2 cuốn sách mà bạn Hưng nhận được giống 2 cuốn sách của bạn Thành (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm I và II từ ba nguyên liệu A, B và C. Để sản xuất 1 kg sản phẩm I nhà máy phải sử dụng 2 kg nguyên liệu A và 2 kg nguyên liệu C. Để sản xuất 1 kg sản phẩm II nhà máy phải sử dụng 2 kg nguyên liệu A, 2 kg nguyên liệu B và 4 kg nguyên liệu C. Biết rằng nhà máy có 10 tấn nguyên liệu A, 4 tấn nguyên liệu B và 12 tấn nguyên liệu C. Giả sử sản phẩm sản xuất ra đều được bán hết và tiền lãi khi bán mỗi tấn sản phẩm I là 3 triệu đồng, mỗi tấn sản phẩm II là 5 triệu đồng. Khi nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất bằng bao nhiêu (triệu đồng)?

Cho một lưới gồm các ô vuông kích thước $10\times 6$ như hình vẽ sau đây. Một người đi từ $A$ đến $B$ theo quy tắc: chỉ đi trên cạnh của các ô vuông theo chiều từ trái qua phải hoặc từ dưới lên trên. Hỏi có bao nhiêu đường đi khác nhau để người đó đi từ $A$ đến $B$ đi qua điểm $C$?