Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đếm có điều kiện kề nhau hoặc loại trừ (Toán học Lớp 10)

Bài 4 (0.75đ): Số cách chọn 7 học sinh bất kỳ trong 15 học sinh có $C_{15}^7=6435$ cách (0.25đ). Số cách chọn 7 học sinh bất kỳ trong 11 học sinh của hai lớp 11 và 12 là $C_{11}^7$ cách. Số cách chọn 7 học sinh bất kỳ trong 10 học sinh của hai lớp 10 và 11 là $C_{10}^7$ cách. Số cách chọn 7 học sinh bất kỳ trong 9 học sinh của hai lớp 10 và 12 là $C_9^7$ cách (0.25đ). Vậy có tất cả $C_{15}^7-\left(C_{11}^7+C_{10}^7+C_9^7\right)=5949$ cách chọn thỏa mãn yêu cầu (0.25đ).

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 4 học sinh không thuộc lớp 12 (2 lớp 10 + 2 lớp 11) trước: có $4!=24$ cách. Bốn học sinh lớp 12 phải đứng vào các khoảng trống giữa và hai đầu của hàng này: có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)\cdot 4!=5\cdot 24=120$ cách (chọn 4 trong 5 khoảng rồi xếp 4 người lớp 12). Vậy tổng số cách xếp là $24\times 120=2880$.

+Chọn 2 trong 7 nam làm tổ trưởng và tổ phó có $A_7^2$ cách. (0,2đ)
Chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ
+) chọn 1 nữ và 2 nam có $5.C_5^2$ cách. (0,2đ)
+) chọn 2 nữ và 1 nam có $5.C_5^2$ cách. (0,2đ)
+) chọn 3 nữ có $C_5^3$ cách. (0,2đ)
+)Vậy có $A_7^2\left(5.C_5^2+5.C_5^2+C_5^3\right)=4620$ cách. (0,2đ)

Chọn 2 trong 8 nam làm tổ trưởng và tổ phó có $A_8^2$ cách.
Chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ:
+) chọn 1 nữ và 2 nam có $5.C_6^2$ cách.
+) chọn 2 nữ và 1 nam có $6.C_5^2$ cách.
+) chọn 3 nữ có $C_5^3$ cách.
Vậy có $A_8^2\left(5.C_6^2+6.C_5^2+C_5^3\right)=8120$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần tìm có dạng $\overline{3abc}$ với $3000<\overline{3abc}<4000$. Vì chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng $c=5$. Chữ số hàng nghìn cố định là 3. Hai chữ số còn lại $a,b$ được chọn và xếp thứ tự từ tập {1; 2; 4; 6} (loại 3 vì trùng hàng nghìn, loại 5 vì trùng chữ số tận cùng), đôi một khác nhau nên số cách là $A_4^2=12$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gộp đại diện lớp 10A và 10B thành một khối (A đứng ngay trước B). Khi đó ta xếp 4 'đối tượng': khối (A,B), C, D, E, nên số cách xếp là $4!=24$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Uỷ ban 6 người, ít nhất 3 nữ từ 6 nam, 4 nữ. Hai trường hợp: 3 nữ 3 nam: $C_4^3{C}_6^3=4\cdot 20=80$; 4 nữ 2 nam: $C_4^4{C}_6^2=1\cdot 15=15$. Tổng $80+15=95$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số có 7 chữ số đôi một khác nhau từ S: 7! hoán vị, trừ các số có chữ số 0 đứng đầu: 6!, nên 7!−6!=6·6!. Đúng. b) Gộp {1,2,3} thành một khối: có 5 đối tượng (khối, 0, 4, 5, 6), sắp 5!·3!=720 cách, trừ trường hợp 0 đứng đầu (khối không phải 0): 4!·3!=144, kết quả 720−144=576≠144. Sai. c) Từ S\{0} có 6 phần tử, số có 6 chữ số khác nhau: 6!=720. Đúng. d) Số chẵn: chữ số tận cùng chẵn. Nếu tận cùng 0: 6!=720 số. Nếu tận cùng là 2,4,6: mỗi trường hợp 5·5! số (chữ số đầu khác 0), tổng 3·5·5!=1800. Tổng cộng 720+1800=2520, không bằng 3·5·5! vì thiếu trường hợp tận cùng 0. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
7!−6!=6·6! (trừ các số bắt đầu bằng 0).
b) (AI giải đề cho tôi)
5!·3!−4!·3!=720−144=576≠144.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hoán vị của 6 phần tử {1,2,3,4,5,6}: 6!=720.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phải cộng thêm trường hợp tận cùng 0: 6!=720; tổng 2520≠3·5·5!=1800.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 bạn nam đứng ngoài cùng bên trái: 5 cách; chọn 1 bạn nam đứng ngoài cùng bên phải: 4 cách. Còn lại 6 người (3 nam, 3 nữ) xếp vào 6 vị trí giữa: $6!=720$ cách. Tổng: $5\cdot 4\cdot 720=14400$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Vì mỗi hàng 5 chỗ và mỗi hàng chỉ chứa thí sinh cùng giới tính, hai hàng liên tiếp khác giới tính nên bố trí giới tính theo hàng phải xen kẽ: Nam–Nữ–Nam–Nữ hoặc Nữ–Nam–Nữ–Nam (2 cách). Với mỗi cách, 10 thí sinh nam được xếp vào đúng 10 chỗ của 2 hàng nam: có $10!$ cách hoán vị; tương tự 10 thí sinh nữ có $10!$ cách. Tổng số cách xếp chỗ là $$2\cdot 10!\cdot 10!=2\cdot 3628800^2=26336378880000.$$ Kiểm tra: mỗi cách xếp dùng đủ 20 thí sinh và 20 chỗ, thỏa mãn điều kiện hàng liên tiếp khác giới tính.

(AI giải đề cho tôi)
a) Xen kẽ: chỉ có 2 mẫu NAM NỮ NAM NỮ NAM NỮ hoặc NỮ NAM NỮ NAM NỮ NAM. Mỗi mẫu có $3!\cdot 3!=36$ cách xếp. Kết quả: $2\cdot 36=72$ cách.
b) Nữ liên tiếp: coi 3 nữ là một khối, xếp 4 đối tượng (khối nữ, 3 nam) có $4!$ cách, trong khối nữ xếp $3!$ cách. Kết quả: $4!\cdot 3!=24\cdot 6=144$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
a) Chọn 1 trong 7 bạn: $C_7^1=7$ cách → Đúng. b) Chọn 2 trong 7 bạn vào 2 vị trí khác nhau (lớp trưởng, lớp phó): $A_7^2=7\cdot 6=42$ cách, không phải 10 → Sai. c) Xếp 7 bạn vào hàng ngang: tổng $7!=5040$; hai nữ ngồi cạnh nhau: coi 2 nữ là một khối, xếp $6!\cdot 2!=1440$; vậy hai nữ không cạnh nhau: $5040-1440=3600$ → Đúng. d) Xếp 7 bạn vào 7 ghế: $7!=5040$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1101: a)Đ - b)S - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_7^1=7$ cách chọn 1 bạn trong 7 bạn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai vị trí khác nhau nên là chỉnh hợp: $A_7^2=42$ cách, không phải 10.
c) (AI giải đề cho tôi)
$7!-2!\cdot 6!=5040-1440=3600$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 7 bạn vào 7 ghế: $7!=5040$ cách.

$n=\overline{abcd}$

TH1 : $d=0$.

Chọn $a,b,c$ có $A_7^3$. Suy ra có $A_7^3=210$ số chẵn. — 0.25

TH2 : $d\ne 0$.

Chọn $d$ có 3.

Chọn $a$ có 6. — 0.25

Chọn $b,c$ có $A_6^2$.

Suy ra có $\mathrm{3.6.}{A}_6^2=540$ số chẵn. — 0.25

Vậy có $210+540=750$ số chẵn thoả ycbt. — 0.25

(AI giải đề cho tôi)
Số lẻ có 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau: hàng đơn vị có 5 cách (1,3,5,7,9); hàng trăm khác 0 và khác chữ số đơn vị nên có 8 cách; hàng chục khác 2 chữ số đã chọn nên có 8 cách. Tổng: $5\times 8\times 8=320$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 12 bạn: 5 nam (1 nam tên Hiền), 7 nữ (2 nữ tên Hiền).
a) Chọn 3 bạn từ 12 bạn là tổ hợp $C_{12}^3=220$, không phải $A_{12}^3=1320$ (chọn không xét thứ tự) → sai.
b) Cách chọn 3 bạn bất kỳ: $C_{12}^3=220$; cách chọn 3 nam: $C_5^3=10$. Số cách có ít nhất 1 nữ: $220-10=210$ → đúng.
c) Đúng một bạn tên Hiền và nhóm có cả nam lẫn nữ:
- Chọn Hiền nam (1 cách), 2 bạn còn lại từ 9 bạn không tên Hiền (4 nam, 5 nữ) phải có ít nhất 1 nữ: $C_9^2-C_4^2=36-6=30$.
- Chọn 1 trong 2 Hiền nữ, 2 bạn còn lại từ 9 bạn phải có ít nhất 1 nam: $C_9^2-C_5^2=36-10=26$, có $2\times 26=52$.
Tổng: $30+52=82$ → đúng.
d) Hai bạn Hiền nữ là hai người phân biệt. Chọn 1 trong 2 nữ Hiền đứng đầu: 2 cách. Khi đó nam Hiền phải ở vị trí 2 và nữ Hiền còn lại ở vị trí 3 (nam Hiền nằm giữa hai nữ Hiền). Còn lại 9 người xếp vào 9 vị trí: $9!=362880$ cách. Tổng: $2\times 9!=725760$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 từ 12 không xét thứ tự: $C_{12}^3=220\ne A_{12}^3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C_{12}^3-C_5^3=220-10=210$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hiền nam: $C_9^2-C_4^2=30$; Hiền nữ: $2(C_9^2-C_5^2)=52$; tổng $82$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn nữ Hiền đứng đầu (2 cách), nam Hiền ở vị trí 2, nữ Hiền còn lại ở vị trí 3, xếp 9 người còn lại: $2\times 9!=725760$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: Hoà và Bình đều tham gia thì chọn thêm 6 bạn từ 8 bạn còn lại: $C_8^6=28$ cách, sắp xếp hàng ngang $8!=40320$ cách, tổng $28\cdot 40320=1128960\ne 20160$. b) Sai: vì phải xếp thành hàng ngang (có thứ tự) nên số cách là $A_{10}^8$, không phải $C_{10}^8$. c) Đúng: chọn 6 bạn từ 8: $C_8^6=28$; gộp Hoà, Bình thành một khối, xếp 7 đối tượng: $7!$, hai bạn đổi chỗ: $2!$, tổng $28\cdot 7!\cdot 2=28\cdot 10080=282240$. d) Đúng: Hoà, Bình ở hai đầu có $2!=2$ cách; 6 vị trí còn lại chọn và xếp từ 8 bạn: $A_8^6=20160$; tổng $2\cdot 20160=40320$. Khớp bảng đáp án mã đề 101: a)S - b)S - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách là $C_8^6\cdot 8!=1128960$, không phải 20160.
b) (AI giải đề cho tôi)
Xếp thành hàng ngang nên dùng chỉnh hợp $A_{10}^8$, không phải tổ hợp $C_{10}^8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C_8^6\cdot 2\cdot 7!=28\cdot 10080=282240$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2!\cdot A_8^6=2\cdot 20160=40320$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a_{ij}\in \{-2,-1,1,2\}$. Vì $|-2|=|2|=2$ và $|-1|=|1|=1$, tích giá trị tuyệt đối của một hàng bằng $|-2|=2$ nên trong mỗi hàng có đúng một ô có giá trị tuyệt đối bằng $2$ (gọi là ô '2'), các ô còn lại bằng $\pm 1$. Tương tự mỗi cột cũng có đúng một ô '2'. Suy ra tổng số ô '2' vừa bằng $m$ (theo hàng) vừa bằng $n$ (theo cột), nên nếu $m\ne n$ thì không có cách điền nào. Với $m=n$: các ô '2' tạo thành một hoán vị — mỗi hàng đúng một ô, mỗi cột đúng một ô — có $n!$ cách chọn vị trí. Xét dấu: mỗi ô có dấu $\pm 1$; điều kiện tích mỗi hàng bằng $-2<0$ và tích mỗi cột bằng $-2<0$ nghĩa là tích dấu trong mỗi hàng và mỗi cột đều bằng $-1$. Ma trận dấu $n\times n$ với tích mỗi hàng, mỗi cột bằng $-1$ có $2^{(n-1{)}^2}$ cách (tự do chọn $(n-1{)}^2$ dấu ở góc trên trái, các dấu còn lại xác định duy nhất; điều kiện tương thích thỏa vì $(-1{)}^n=(-1{)}^n$). Khi đó giá trị ô '2' là $\pm 2$ theo dấu đã chọn, giá trị các ô còn lại là $\pm 1$ theo dấu đã chọn, nên mỗi ma trận dấu cho đúng một cách điền. Kiểm tra: $n=1$ cho $1!\cdot 2^0=1$ (ô duy nhất là $-2$, đúng); $n=2$ cho $2!\cdot 2^1=4$, ví dụ $\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$ thỏa mãn. Kết luận: số cách điền bằng $0$ nếu $m\ne n$; bằng $n!\cdot 2^{(n-1{)}^2}$ nếu $m=n$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{3x+3}{x-1}=3+\frac{6}{x-1}$, đồ thị $(C)$ là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=3$.

**Bước 1: Tìm các điểm nguyên trên $(C)$.**
Điểm $(x,y)\in (C)$ có tọa độ nguyên khi $x\ne 1$, $x$ nguyên và $\frac{6}{x-1}$ nguyên, tức $x-1\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\}$. Ta được 6 điểm:
$$A(2;9),B(0;-3),C(3;6),D(-1;0),E(4;5),F(-5;2).$$

**Bước 2: Phân loại đường thẳng có điểm chung với $(C)$.**
Một đường thẳng bất kỳ cắt hyperbol tại nhiều nhất 2 điểm. Xét 3 trường hợp:

• **Đường thẳng đứng $x=a$ ($a\ne 1$):** cắt $(C)$ tại duy nhất điểm $(a;3+\frac{6}{a-1})$. Để tọa độ nguyên cần $a$ nguyên và $a-1\mid 6$, cho đúng 6 đường thẳng: $x=2,0,3,-1,4,-5$. (Đường $x=1$ không có điểm chung nên bị loại.) → 6 đường.

• **Đường thẳng ngang $y=c$:** cắt $(C)$ tại duy nhất điểm $(1+\frac{6}{c-3};c)$. Để tọa độ nguyên cần $c$ nguyên và $c-3\mid 6$, cho 6 đường: $y=9,-3,6,0,5,2$. (Đường $y=3$ không có điểm chung, bị loại.) → 6 đường.

• **Đường thẳng $y=mx+b$ với $m\ne 0$:** phương trình hoành độ giao điểm là $(mx+b-3)(x-1)=6$, phương trình bậc hai (vì $x=1$ không thể là nghiệm), luôn có 2 nghiệm (kể cả nghiệm kép). Do đó:
- Nếu cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt: cả 2 điểm phải nguyên, tức đường thẳng đi qua 2 trong 6 điểm nguyên ở Bước 1. Kiểm tra thấy không có 3 điểm nào trong 6 điểm thẳng hàng (các hệ số góc giữa các cặp điểm đôi một khác nhau hoặc là đường thẳng phân biệt), nên số đường secant là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$. → 15 đường.
- Nếu tiếp xúc (nghiệm kép): tiếp điểm phải là điểm nguyên, và mỗi điểm nguyên cho đúng 1 tiếp tuyến. → 6 tiếp tuyến.

**Bước 3: Kết luận.**
$$|S|=6+6+15+6=33.$$

(AI giải đề cho tôi)
Số tam giác chọn 3 đỉnh từ 10 đỉnh: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=120$. Trừ các tam giác có ít nhất một cặp đỉnh kề: số tam giác có đúng một cặp đỉnh kề là $10\cdot (10-4)=60$ (chọn cạnh kề, đỉnh thứ ba không kề hai đầu); số tam giác có hai cặp đỉnh kề (tức ba đỉnh liên tiếp) là 10. Vậy kết quả $120-60-10=50$. Công thức tổng quát $\frac{n(n-4)(n-5)}{6}=\frac{10\cdot 6\cdot 5}{6}=50$.

(AI giải đề cho tôi)
**Bước 1: Phân loại hoán vị thỏa mãn điều kiện a).** Với mỗi $i$, do $a_{i+1}\le a_i+1$ và các giá trị đôi một khác nhau, nếu $a_{i+1}>a_i$ thì bắt buộc $a_{i+1}=a_i+1$. Xét khối chứa giá trị $n=2026$: bước đi vào giá trị $n$ phải từ $n-1$, tương tự $n-1$ phải đứng ngay sau $n-2$ hoặc đứng đầu dãy… Suy ra hoán vị là sự nối tiếp các khối, mỗi khối là các số nguyên liên tiếp tăng dần theo bước $+1$, và các khối xếp theo thứ tự giá trị lớn nhất giảm dần (khi đó bước chuyển giữa hai khối luôn là bước giảm, tự động thỏa mãn). Ngược lại, mọi cách phân tích $n$ thành tổng liên tiếp các khối như vậy đều cho hoán vị hợp lệ. Cụ thể, cho một bộ chỉ số độ dài khối $(l_1,\dots ,l_r)$ với $s_t=l_1+\cdots +l_t$, khối $t$ chiếm các vị trí $s_{t-1}+1,\dots ,s_t$ và chứa các giá trị $n-s_t+1,\dots ,n-s_{t-1}$ theo thứ tự tăng dần.

**Bước 2: Tính điểm cố định.** Tại vị trí $p$ trong khối $t$, giá trị là $n-s_t+p-s_{t-1}$. Hoán vị cố định $a_p=p$ khi và chỉ khi $n=s_t+s_{t-1}$, và khi đó **mọi** vị trí của khối $t$ đều là điểm cố định (phương trình không phụ thuộc $p$). Vậy số điểm cố định bằng $l_t$ nếu $s_{t-1}+s_t=n$, còn bằng $0$ nếu ngược lại.

**Bước 3: Điều kiện b).** Cần đúng 2 điểm cố định nên cần đúng một khối với $l_t=2$ và $s_{t-1}+s_t=2026$, tức $2s_{t-1}+2=2026\Rightarrow s_{t-1}=1012,s_t=1014$. Khi đó khối này là $a_{1013}=1013,a_{1014}=1014$. Với các khối khác: nếu $j<t$ thì $s_{j-1}+s_j\le 1012+1011<2026$; nếu $j>t$ thì $s_{j-1}+s_j\ge 1014+1015>2026$. Vậy tự động không có khối nào khác cho điểm cố định.

**Bước 4: Đếm.** Phần trước khối đặc biệt là một bộ chỉ số độ dài có tổng $1012$: có $2^{1011}$ cách (mỗi bộ chỉ số của số nguyên dương $m$ có $2^{m-1}$ cách). Phần sau khối đặc biệt có tổng $2026-1014=1012$: có $2^{1011}$ cách. Đáp số: $$2^{1011}\cdot 2^{1011}=2^{2022}.$$