Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đếm có điều kiện kề nhau hoặc loại trừ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số điểm là 32 (28 điểm trên bốn cạnh và 4 đỉnh). Số bộ ba điểm bất kỳ: $C_{32}^3=4960$. Ba điểm không lập thành tam giác khi và chỉ khi chúng thẳng hàng, tức cùng nằm trên một cạnh: mỗi cạnh có $7+2=9$ điểm, cho $C_9^3=84$ bộ; bốn cạnh cho $4\cdot 84=336$ bộ. Vậy số tam giác là $4960-336=4624$.

(AI giải đề cho tôi)
Đếm số chẵn 4 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau, ≤ 2025. Trường hợp chữ số đầu là 1: số dạng 1bcd tự động ≤ 2025. Chọn chữ số cuối chẵn: 5 cách (0,2,4,6,8), rồi chọn 2 chữ số còn lại từ 8 chữ số khác: 8·7=56, được 5·56=280 số. Trường hợp chữ số đầu là 2: cần 2bcd ≤ 2025, nên b=0 và c≤2. c=0 trùng, c=2 trùng, c=1: thì d≤5, chẵn, khác 2,0,1 → d=4, cho đúng 1 số (2014). Tổng: 280+1=281.

(AI giải đề cho tôi)
Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4: a) Số chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau: tận cùng 0 có $4\cdot 3=12$ số; tận cùng 2 hoặc 4 có $3\cdot 3=9$ số mỗi trường hợp, tổng $12+9+9=30\ne 27$ → Sai. b) Số có hai chữ số: chữ số hàng chục có 4 cách (khác 0), hàng đơn vị có 5 cách, được $4\cdot 5=20$ → Đúng. c) Chia hết cho 5 nên tận cùng phải là 0 (không có chữ số 5): $4\cdot 3=12$ → Đúng. d) Số có ba chữ số đôi một khác nhau: $4\cdot 4\cdot 3=48$ → Đúng. Khớp đáp án chính thức: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tận cùng 0: $4\cdot 3=12$; tận cùng 2 hoặc 4: $3\cdot 3=9$ mỗi trường hợp. Tổng $12+9+9=30\ne 27$ nên Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàng chục có 4 cách (khác 0), hàng đơn vị có 5 cách: $4\cdot 5=20$ → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chia hết cho 5 nên tận cùng là 0 (trong tập chỉ có 0): $4\cdot 3=12$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chữ số đầu khác 0: 4 cách, hai chữ số sau: $4\cdot 3$ cách, tổng $4\cdot 4\cdot 3=48$ → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn 4 chữ số khác nhau từ A={0;1;2;3;4;5;6}: chữ số tận cùng thuộc {0;2;4;6}. TH1: tận cùng là 0, chọn và sắp 3 chữ số từ 6 chữ số còn lại: $A_6^3=6\cdot 5\cdot 4=120$. TH2: tận cùng là 2, 4 hoặc 6 (3 cách); chữ số đầu khác 0 và khác chữ số tận cùng nên có 5 cách; hai chữ số giữa chọn từ 5 chữ số còn lại: $5\cdot 4=20$; tổng $3\cdot 5\cdot 20=300$. Kết quả $120+300=420$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 học sinh từ 12 (5 lớp A, 4 lớp B, 3 lớp C) sao cho cả ba lớp đều có người. Vì chọn 4 người nên các phân bố (A,B,C) khả dĩ là (2,1,1), (1,2,1), (1,1,2):
- (2,1,1): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=10\cdot 4\cdot 3=120$.
- (1,2,1): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=5\cdot 6\cdot 3=90$.
- (1,1,2): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=5\cdot 4\cdot 3=60$.
Tổng: $120+90+60=270$ cách.
Kiểm tra bằng phương pháp bù - bao hàm: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{4}\right)=495$; thiếu C: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4}\right)=126$; thiếu B: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)=70$; thiếu A: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}\right)=35$; chỉ lớp A: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)=5$; chỉ lớp B: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)=1$; chỉ lớp C: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}\right)=0$. Vậy $495-126-70-35+5+1+0=270$, khớp kết quả.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng bù - trừ. Tổng số cách chọn 6 học sinh từ 15 người: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{6}\right)=5005$. Số cách thiếu khối 12 (chỉ chọn từ 9 người khối 11 và 10): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{6}\right)=84$; thiếu khối 11: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{6}\right)=462$; thiếu khối 10: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{6}\right)=210$. Các giao của hai biến cố: thiếu cả 12 và 11 (chỉ chọn từ 5 người khối 10): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{6}\right)=0$; thiếu cả 12 và 10 (chỉ từ 4 người khối 11): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{6}\right)=0$; thiếu cả 11 và 10 (chỉ từ 6 người khối 12): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6}\right)=1$. Vậy số cách chọn sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là $5005-(84+462+210)+1=5005-756+1=4250$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm 5 học sinh có ít nhất 2 nữ và phải có ít nhất 1 nam, 1 nữ (vì cần đội trưởng nam, đội phó nữ), nên xét các trường hợp số nữ $k=2,3,4$:
- $k=2$ (3 nam): chọn nhóm $C_7^2{C}_5^3=21\cdot 10=210$; chọn đội trưởng nam và đội phó nữ: $3\cdot 2=6$ cách → $210\cdot 6=1260$.
- $k=3$ (2 nam): $C_7^3{C}_5^2=35\cdot 10=350$ nhóm; $2\cdot 3=6$ cách → $350\cdot 6=2100$.
- $k=4$ (1 nam): $C_7^4{C}_5^1=35\cdot 5=175$ nhóm; $1\cdot 4=4$ cách → $175\cdot 4=700$.
Trường hợp $k=5$ (0 nam) loại vì không có đội trưởng nam.
Tổng: $1260+2100+700=4060$ cách.

1) Số tam giác cân tạo bởi các điểm và các đỉnh của hình vuông.
- TH1 số tam giác cân tại đỉnh của hình vuông là $4.5=20$ tam giác
- TH2 số tam giác cân tương tự tam giác cân tại $E$ và $E^{\prime }$ là $2.4=8$
- TH3 số tam giác cân tương tự tam giác cân tại $F$ và $F^{\prime }$ là $\mathrm{2.2.4}=16$

- Tổng Diện tích tam giác cân tại $A$ là $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}.2+\frac{1}{2}.3+\frac{1}{2}.4+\frac{1}{2}.5=\frac{15}{2}{m}^2$ suy ra tổng diện tích tam giác cân tại các đỉnh ở hình vuông là $4.\frac{15}{2}=30m^2$.

- Diện tích tam giác cân tại $E$ là $\frac{1}{2}.5.2=5m^2$ suy ra tổng diện tích tam giác cân tương tự tam giác cân tại $E$ là $5.8=40m^2$.

- Tổng diện tích tam giác cân tại $F$ là $\frac{1}{2}.5.2+\frac{1}{2}.5.4=15m^2$ suy ra tổng diện tích tam giác cân tương tự tam giác cân tại $F$ là $15.16=240m^2$.

Tổng diện tích tất cả các tam giác cân tạo bởi các điểm đó với các đỉnh của hình vuông bằng $30+40+240=310m^2$

2) Gọi biến cố A là bạn An thi có giải.

B là bạn Bình thi có giải.

Ta có $P(A)=0,5$ và $P\left(\overline{A}B\right)=0,2$

Vì An và Bình thi có giải là độc lập với nhau nên ta có $P\left(\overline{A}B\right)=P\left(\overline{A}\right).P(B)=0,2$

$\Rightarrow P(B)=\frac{0,2}{1-0,5}=0,4$

Vậy $P\left(\overline{A}\overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}\right)=0,5.(1-0,4)=0,3$

Xác suất để hai bạn đều không có giải là $0,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số số: $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360$. Theo mod 3: nhóm 0: $\{3;6\}$, nhóm 1: $\{1;4\}$, nhóm 2: $\{2;5\}$. Các tập 4 chữ số có tổng chia hết cho 3: $(a,b,c)$ với $b+2c\equiv 0(\mathrm{mod}3)$: $(0,2,2)$: 1 tập; $(2,1,1)$: 4 tập → 5 tập, mỗi tập $4!=24$ cách xếp → $|B|=120$.
a) Chữ số cuối chẵn (2;4;6): $3\cdot A_5^3=180$ → đúng.
$A\cap B$ theo chữ số cuối:
- cuối = 2: cần 3 chữ từ $\{1;3;4;5;6\}$ có tổng $\equiv 1$: các bộ $\{1;3;6\},\{1;4;5\},\{3;4;6\}$ → 3 bộ → 18 số.
- cuối = 4: cần tổng $\equiv 2$ từ $\{1;2;3;5;6\}$: các bộ $\{1;2;5\},\{2;3;6\},\{3;5;6\}$ → 3 bộ → 18 số.
- cuối = 6: cần tổng $\equiv 0$ từ $\{1;2;3;4;5\}$: các bộ $\{1;2;3\},\{2;3;4\},\{1;3;5\},\{3;4;5\}$ → 4 bộ → 24 số.
Vậy $|A\cap B|=18+18+24=60\ne 42$ → b sai.
c) $A\overline{B}=A\cap \overline{B}=A\setminus B$ có $180-60=120$ phần tử, không phải 180 → sai.
d) $|A\cup \overline{B}|=|A|+|\overline{B}|-|A\cap \overline{B}|=180+240-120=300\ne 420$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn chữ số cuối chẵn (2;4;6): 3 cách, sau đó chọn và xếp 3 chữ số từ 5 chữ còn lại: $A_5^3=60$, nên $|A|=3\cdot 60=180$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đếm trực tiếp: cuối 2 cho 18 số, cuối 4 cho 18 số, cuối 6 cho 24 số; $|A\cap B|=60\ne 42$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$A\overline{B}=A\cap \overline{B}=A\setminus B$ có $180-60=120$ phần tử, không phải 180.
d) (AI giải đề cho tôi)
$|A\cup \overline{B}|=180+(360-120)-(180-60)=300\ne 420$.

4a (0,5 điểm): Khi $n=4$, $m=5$.

Không mất tính tổng quát giả sử ta tô màu theo thứ tự các đỉnh $A_1,A_2,A_3,A_4$. Đỉnh $A_1$ có 5 cách tô màu. Đỉnh $A_2$ có 4 cách tô màu.

TH1: đỉnh $A_3$ được tô màu cùng màu với đỉnh $A_1$. Lúc đó, có 1 cách tô màu đỉnh $A_3$ và có 4 cách tô màu đỉnh $A_4$. Trong trường hợp này, có tất cả $\mathrm{5.4.1.4}=80$ cách tô màu.

TH2: đỉnh $A_3$ được tô màu khác màu với đỉnh $A_1$. Lúc đó, có 3 cách tô màu đỉnh $A_3$ và có 3 cách tô màu đỉnh $A_4$. Trong trường hợp này, có tất cả $\mathrm{5.4.3.3}=180$ cách tô màu.

Vậy có 260 cách tô màu khi $n=4$, $m=5$.

4b (1,0 điểm): Khi $n=2024$, $m=2025$.

Gọi $S_n$ là số cách tô màu $n$-giác đều $A_1{A}_2...A_n$ thỏa mãn bài toán. Ta giải bài toán trong trường hợp tổng quát với $m,n$ bất kỳ thỏa mãn $m,n\in \mathbb{N}$; $m\ge 3$; $n\ge 3$.

TH1: đỉnh $A_1$ và đỉnh $A_{n-1}$ được tô bởi hai màu khác nhau. Lúc đó, đỉnh $A_n$ được tô màu khác với màu của hai đỉnh trên nên đỉnh $A_n$ có tất cả $m-2$ cách tô màu. Trong trường hợp này, ta có số cách tô màu là $(m-2)S_{n-1}$.

TH2: đỉnh $A_1$ và đỉnh $A_{n-1}$ được tô bởi cùng một màu. Lúc đó, đỉnh $A_n$ được tô màu khác với màu trên nên đỉnh $A_n$ có tất cả $m-1$ cách tô màu. Trong trường hợp này, ta có số cách tô màu là $(m-1)S_{n-2}$.

Như vậy, ta có công thức truy hồi $S_n=(m-2)S_{n-1}+(m-1)S_{n-2},\forall n\ge 5$.

Khi $n=3$: đỉnh $A_1$ có $m$ cách tô màu, đỉnh $A_2$ có $m-1$ cách tô màu, đỉnh $A_3$ có $m-2$ cách tô màu. Do đó $S_3=m(m-1)(m-2)$.

Khi $n=4$ và theo câu a) ta có:
$$S_4=m(m-1)\cdot 1\cdot (m-1)+m(m-1)(m-2)(m-2)=m(m-1)\left(m^2-3m+3\right).$$

Do đó, ta có dãy số $(S_n)$ xác định bởi
$$\{\begin{array}{l}{S}_3=m(m-1)(m-2)\\ S_4=m(m-1)\left(m^2-3m+3\right)\\ S_n=(m-2)S_{n-1}+(m-1)S_{n-2},\forall n\ge 5\end{array}.$$

Từ hệ thức truy hồi trên, ta có $S_n=(m-1{)}^n+(m-1)(-1{)}^n$, với $\forall n\ge 3$; $m\ge 3$.

Thay $n=2024$, $m=2025$, ta được
$$S_{2024}=(2025-1{)}^{2024}+2025-1=2024^{2024}+2024.$$

Vậy khi $n=2024$, $m=2025$ ta có $2024^{2024}+2024$ cách tô màu.

(AI giải đề cho tôi)
Xen kẽ 3 nam, 3 nữ thành hàng dọc chỉ có 2 dạng: N-N-N-N-N-N (nữ ở vị trí lẻ) hoặc nam ở vị trí lẻ. Mỗi dạng: 3! cách xếp nữ × 3! cách xếp nam = 36. Tổng: 2 × 36 = 72.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 7 học sinh (5 nam, 2 nữ) vào ghế dài. d) Ngẫu nhiên: $7!=5040$ cách → Đúng. c) Hai nữ ngồi cạnh nhau: gộp 2 nữ thành một khối, có $2!$ cách xếp trong khối; khối cùng 5 nam tạo thành 6 đối tượng xếp được $6!$ cách → $2!\cdot 6!=1440$ → Đúng. b) Hai nữ không ngồi cạnh nhau: $5040-1440=3600$ → Đúng. a) Học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau (5 nam liền nhau và 2 nữ liền nhau): 2 khối (khối nam, khối nữ) xếp $2!$ cách, trong khối nam $5!$, trong khối nữ $2!$ → $2!\cdot 5!\cdot 2!=480$ cách, không phải 240 → Sai. Kết quả SDDD khớp bảng đáp án mã 101 (Câu 4, trang 5).
a) (AI giải đề cho tôi)
Cùng giới ngồi cạnh nhau: $2!\cdot 5!\cdot 2!=480\ne 240$ cách → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$7!-2!\cdot 6!=5040-1440=3600$ → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2!\cdot 6!=1440$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$7!=5040$ → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 6 chữ số giảm ngặt $a_1>a_2>...>a_6$ ứng với việc chọn 6 chữ số phân biệt từ 0–9 rồi xếp giảm dần; số lẻ khi và chỉ khi $a_6$ (chữ số nhỏ nhất) lẻ. Tổng số cách chọn: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{6}\right)=210$. Đếm các bộ có chữ số nhỏ nhất chẵn: nhỏ nhất là 0: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{5}\right)=126$; là 2: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{5}\right)=21$; là 4: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5}\right)=1$; là 6 hoặc 8: 0. Vậy số bộ có min chẵn là 148, số bộ thỏa mãn (min lẻ) là $210-148=62$. Kết quả khớp đáp án nguồn 62.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn và xếp chỗ cho 3 nữ vào 5 ghế cửa sổ: $A_5^3=60$ cách. Sau đó 4 nam ngồi vào 4 trong 5 ghế còn lại: $A_5^4=120$ cách. Tổng: $60\times 120=7200$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Xem mỗi cặp vợ chồng là một 'khối': có $3!=6$ cách xếp thứ tự các khối. Trong mỗi khối, 2 người có thể đổi chỗ cho nhau: $2^3=8$ cách. Tổng: $3!\cdot 2^3=6\cdot 8=48$ cách.

Giải (MÃ ĐỀ 106 & 108, trang 16):
Xem bạn Hải, Kiên ngồi 1 vị trí, ta sắp xếp 6 vị trí, nên có 6! cách xếp.
Hoán vị của Hải và Kiên: 2! (0,25)
Để xếp thỏa yêu cầu bài toán, có: 6!.2 = 1440 cách xếp (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Gộp An và Bình thành một 'khối'. Khi đó có 5 đối tượng (khối AB, Chi, Dũng, Giang, Hải) xếp vào 6 ghế liền kề: chọn 1 trong 5 vị trí liên tiếp cho khối rồi xếp 4 người còn lại vào 4 ghế còn lại, hoặc đơn giản: xếp 5 đối tượng vào 5 'chỗ' liên tiếp của dãy 6 ghế — số cách = 5! · 2 = 120 · 2 = 240. Cụ thể: có 5 cách đặt khối AB vào dãy (vị trí ghế bắt đầu từ 1 đến 5), mỗi cách có 2! = 2 cách sắp An, Bình trong khối và 4! = 24 cách xếp 4 bạn còn lại vào 4 ghế còn lại. Tổng: 5 · 2 · 24 = 240 cách.

(AI giải đề cho tôi)
Coi Hải và Kiên là một khối, cùng 5 bạn còn lại tạo thành 6 đối tượng xếp hàng: $6!=720$ cách. Trong khối, Hải và Kiên đổi chỗ cho nhau được $2!=2$ cách. Vậy tổng số cách xếp là $6!\cdot 2!=720\cdot 2=1440$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Gộp An và Bình thành một khối, cùng 4 bạn còn lại thành 5 đối tượng xếp hàng: $5!=120$ cách. Trong khối, An và Bình đổi chỗ cho nhau được $2!=2$ cách. Vậy tổng số cách xếp là $5!\cdot 2!=120\cdot 2=240$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn có 4 chữ số, các chữ số khác nhau, từ {0;1;2;3;4}. Xét chữ số tận cùng: - Tận cùng 0: chọn 3 chữ số còn lại từ 4 chữ số còn: $4\cdot 3\cdot 2=24$. - Tận cùng 2 hoặc 4 (2 cách): chữ số đầu khác 0 và khác chữ số tận cùng nên có 3 cách, hai vị trí giữa còn $3\cdot 2=6$ cách: $2\cdot 3\cdot 3\cdot 2=36$. Tổng: $24+36=60$, khớp đáp án nguồn.