Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đếm có điều kiện kề nhau hoặc loại trừ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Coi khối 3 thầy cô là một phần tử: thầy giáo đứng giữa cố định, hai cô giáo hoán vị cho nhau: $2!=2$ cách. Khối này cùng 6 học sinh tạo thành 7 phần tử xếp hàng: $7!=5040$ cách. Tổng: $2\cdot 7!=10080$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. TH tận cùng 0: chọn 4 chữ số từ 6 chữ số còn lại xếp vào 4 vị trí đầu: $A_6^4=360$. TH tận cùng 5: chữ số đầu khác 0, có 5 cách chọn, sau đó chọn 3 chữ số từ 5 chữ còn lại: $5\cdot A_5^3=5\cdot 60=300$. Tổng: $360+300=660$.

(AI giải đề cho tôi)
a) 8! = 40320 đúng. b) Cùng giới đứng cạnh nhau: chặn cụm 5 nam và cụm 3 nữ, xếp 2 cụm: 2!·5!·3! = 2·120·6 = 1440 đúng. c) Nữ luôn đứng cạnh nhau: chặn 3 nữ thành 1 cụm, xếp 6 đối tượng: 6!·3! = 720·6 = 4320 đúng. d) Không có nữ nào đứng cạnh nhau: xếp 5 nam trước (5! = 120), có 6 khoảng trống, chọn và xếp 3 nữ vào: A(6,3) = 120, tổng = 120·120 = 14400 cách, không phải 2400 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
8! = 40320 cách xếp 8 học sinh bất kỳ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 2 cụm (nam, nữ): 2!·5!·3! = 1440 cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chặn 3 nữ thành 1 cụm: 6!·3! = 4320 cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
5!·A(6,3) = 120·120 = 14400 cách, không phải 2400.

(AI giải đề cho tôi)
a) Xếp tùy ý 9 người vào 9 ghế: $9!=362880$ → đúng. b) An, Bình cạnh nhau: coi như một khối, có $8!\cdot 2=80640$ cách (không phải 40320) → sai. c) Không cạnh nhau: $9!-8!\cdot 2=362880-80640=282240$ → đúng. d) An, Bình ngồi 2 đầu dãy ghế: $2!\cdot 7!=2\cdot 5040=10080$ cách (không phải 5040) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$9!=362880$ cách xếp tùy ý.
b) (AI giải đề cho tôi)
An và Bình cạnh nhau: $8!\cdot 2=80640$ cách, không phải 40320.
c) (AI giải đề cho tôi)
$9!-2\cdot 8!=362880-80640=282240$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai đầu dãy: $2!\cdot 7!=10080$ cách, không phải 5040.

Vì chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3, ba chữ số 1, 2, 3 phải xuất hiện liên tiếp dưới dạng khối "123" hoặc khối "321" (2 khối possible).
Xem khối (123 hoặc 321) là một phần tử. Chọn 4 chữ số còn lại từ 7 chữ số {0; 4; 5; 6; 7; 8; 9}: $A_7^4=840$ cách.
Sắp xếp 5 phần tử (khối + 4 chữ số đã chọn) thành một hàng: $5!=120$ cách.
Số số có khối "123": $840\cdot 120=100800$. Số số có khối "321": $840\cdot 120=100800$.
Trừ các trường hợp chữ số 0 đứng đầu: khi 0 ở vị trí đầu, chọn 3 chữ số từ 6 chữ số khác 0 còn lại: $A_6^3=120$ cách, sắp xếp 4 phần tử còn lại (khối + 3 chữ số): $4!=24$ cách. Mỗi khối có $120\cdot 24=2880$ trường hợp, hai khối cho $2\cdot 2880=5760$ trường hợp.
Vậy kết quả: $2\cdot 840\cdot 120-5760=201600-5760=195840$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn tổ trưởng nam: $15$ cách; chọn tổ phó nam (khác tổ trưởng): $14$ cách. Còn chọn 3 người từ 13 nam và 5 nữ sao cho có ít nhất 1 nữ: $C_{18}^3-C_{13}^3=816-286=530$ cách. Vậy tổng số cách: $15\cdot 14\cdot 530=111300$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số có ba chữ số khác nhau lập từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6. Chữ số hàng trăm không thể là 0 nên có 6 cách chọn. Hàng chục: chọn từ 6 chữ số còn lại (đã dùng 1) nên có 6 cách. Hàng đơn vị: 5 cách. Tổng: $6\times 6\times 5=180$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Đếm các bộ $(a,b,c)$ với $a\ge 1,b\ge 1,c\ge 1$, $a\le 3,b\le 4,c\le 5$, $a+b+c=6$, rồi tính $C_3^a{C}_4^b{C}_5^c$:
$(1,1,4):60$; $(1,2,3):180$; $(1,3,2):120$; $(1,4,1):15$; $(2,1,3):120$; $(2,2,2):180$; $(2,3,1):60$; $(3,1,2):40$; $(3,2,1):30$.
Tổng: $60+180+120+15+120+180+60+40+30=805$. (Kiểm tra: nhỏ hơn $C_{12}^6=924$, hợp lý.)

Giải
Trong 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 thứ phẩm trong 3 trường hợp sau đây.
Trường hợp 1: Có đúng 1 thứ phẩm.
Trường hợp này có $C_{97}^2{C}_3^1=4656.3=13968$ cách lấy, như đã tính ở trên.
Trường hợp 2: Có đúng 2 thứ phẩm.
Trường hợp này có $C_{97}^1{C}_3^2=97.3=291$ cách lấy.
Trường hợp 3: Có đúng 3 thứ phẩm.
Trường hợp này có $C_3^3=1$ cách lấy.
Áp dụng quy tắc cộng, số cách lấy 3 sản phẩm có ít nhất 1 thứ phẩm là $13968+291+1=14260$ (cách).
Cách khác: Có thể giải bài toán bằng cách tìm phần bù. Số cách lấy 3 sản phẩm đều là chính phẩm là $C_{97}^3$.
Từ đó, số cách lấy 3 sản phẩm trong đó có ít nhất một thứ phẩm là $C_{100}^3-C_{97}^3=161700-147440=14260$ (cách).

(AI giải đề cho tôi)
Có 28 điểm, chỉ có đồng quy thẳng hàng trên mỗi cạnh (6 điểm/cạnh). Tổng số tam giác lập từ 28 điểm bất kỳ: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{28}{3}\right)=3276$. Các bộ 3 điểm thẳng hàng chỉ xảy ra khi cả 3 điểm cùng nằm trên một cạnh: $4\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=4\cdot 20=80$. Vậy số tam giác là $3276-80=3196$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số điểm là $4$ đỉnh $+4\times 7=32$ điểm. Số bộ ba bất kỳ: $C_{32}^3=4960$. Ba điểm không lập thành tam giác khi thẳng hàng, chỉ xảy ra khi cả ba nằm trên cùng một đường thẳng chứa một cạnh: mỗi cạnh có $7+2=9$ điểm, cho $C_9^3=84$ bộ ba; bốn cạnh loại $4\cdot 84=336$ (giả thiết tứ giác tổng quát, không có ba điểm thuộc hai cạnh khác nhau thẳng hàng). Vậy số tam giác $=4960-336=4624$.

(AI giải đề cho tôi)
Có tất cả $8\cdot 4=32$ điểm trên bốn cạnh, cộng 4 đỉnh $A,B,C,D$ là 36 điểm. Chọn 3 điểm bất kỳ: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{36}{3}\right)=7140$. Ba điểm không lập thành tam giác khi và chỉ khi chúng thẳng hàng. Vì các đỉnh không được chọn, đường thẳng qua 2 điểm trên một cạnh chỉ cắt các cạnh khác tại đỉnh, nên bộ ba thẳng hàng chỉ có thể là 3 điểm cùng trên một cạnh: mỗi cạnh có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)=56$ bộ, bốn cạnh cho $4\cdot 56=224$ bộ. Vậy số tam giác là $7140-224=6916$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 điểm từ 36 điểm: $C_{36}^3=\frac{36\cdot 35\cdot 34}{6}=7140$. Ba điểm không thẳng hàng: cần trừ các bộ ba thẳng hàng.
- 3 điểm cùng nằm trên một cạnh: mỗi cạnh có 8 điểm nên $C_8^3=56$ bộ ba, có 4 cạnh, tổng $4\cdot 56=224$.
- 2 điểm trên một cạnh và 1 đỉnh là đầu mút của cạnh đó: mỗi cạnh có $C_8^2=28$ cách chọn 2 điểm và 2 đỉnh đầu mút, tổng $4\cdot 2\cdot 28=224$.
- 1 điểm trên một cạnh và 2 đỉnh đầu mút của cạnh đó: mỗi cạnh có 8 cách, tổng $4\cdot 8=32$.
Tổng các bộ ba thẳng hàng: $224+224+32=480$. Các bộ ba khác không thẳng hàng vì chỉ có các điểm trên cùng một cạnh (cùng với hai đỉnh của cạnh đó) mới thẳng hàng.
Vậy số tam giác: $7140-480=6660$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số điểm: 4 đỉnh + 4×7 = 32 điểm. Chọn 3 điểm bất kỳ: $C_{32}^3=4960$. Các bộ ba thẳng hàng (không lập được tam giác): 3 điểm nằm trên cùng một cạnh, mỗi cạnh có 9 điểm (7 điểm đã cho + 2 đỉnh), cho $C_9^3=84$ bộ; có 4 cạnh. Vậy số tam giác $=4960-4\cdot 84=4960-336=4624$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 điểm từ 36 điểm là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{36}{3}\right)=7140$. Các bộ ba không lập được tam giác là các bộ ba thẳng hàng: trên mỗi cạnh có 8 điểm đã cho cộng với 2 đỉnh của cạnh đó, tức 10 điểm thẳng hàng, cho $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=120$ bộ ba thẳng hàng. Bốn cạnh nên trừ $4\cdot 120=480$. Kết quả: $7140-480=6660$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 điểm từ 28 điểm là $C_{28}^3=3276$. Ba điểm không lập thành tam giác khi thẳng hàng, tức cùng nằm trên một cạnh. Trên mỗi cạnh có 6 điểm đã cho cộng với 2 đỉnh của cạnh đó, tức 8 điểm thẳng hàng, cho $C_8^3=56$ bộ ba thẳng hàng. Bốn cạnh nên loại $4\cdot 56=224$. Kết quả: $3276-224=3052$.

(AI giải đề cho tôi)
Có 28 điểm, chọn 3 điểm bất kỳ: $C_{28}^3=3276$. Các bộ ba không lập được tam giác là ba điểm cùng nằm trên một cạnh: mỗi cạnh có $C_6^3=20$ bộ, 4 cạnh nên trừ $4\cdot 20=80$. Kết quả: $3276-80=3196$ tam giác. (Hai điểm trên một cạnh và điểm thứ ba ở nơi khác luôn lập được tam giác; không có ba điểm thẳng hàng nào khác ngoài các cạnh.)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số điểm là 32 (28 điểm trên cạnh + 4 đỉnh). Chọn bất kỳ 3 điểm: $C_{32}^3=4960$. Ba điểm không lập thành tam giác khi và chỉ khi chúng thẳng hàng, tức cùng nằm trên một cạnh của tứ giác (mỗi cạnh chứa $7+2=9$ điểm, cho $C_9^3=84$ bộ; đường chéo chỉ chứa 2 đỉnh nên không bị trừ thêm). Số bộ thẳng hàng: $4\cdot 84=336$. Vậy số tam giác $=4960-336=4624$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ 36 điểm chọn 3 điểm: $C_{36}^3=7140$. Ba điểm không lập thành tam giác khi và chỉ khi thẳng hàng, tức cùng nằm trên một cạnh của tứ giác (mỗi cạnh có 8 điểm đã cho, không có đường thẳng nào khác chứa 3 điểm đã cho). Mỗi cạnh cho $C_8^3=56$ bộ ba thẳng hàng, 4 cạnh cho $4\cdot 56=224$. Vậy số tam giác là $7140-224=6916$.

(AI giải đề cho tôi)
Có tất cả $4\times 6=28$ điểm. Chọn bất kỳ 3 điểm: $C_{28}^3=3276$. Ba điểm không lập thành tam giác khi và chỉ khi chúng thẳng hàng, tức cùng nằm trên một cạnh (vì không có điểm nào trùng đỉnh, hai điểm trên một cạnh và điểm thứ ba trên cạnh khác không thể thẳng hàng với đường thẳng chứa cạnh đó). Số bộ ba thẳng hàng: $4\cdot C_6^3=4\cdot 20=80$. Vậy số tam giác: $3276-80=3196$.