1) Cho hình vuông $ABCD$ cạnh 5m trên mỗi cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $AD$ lấy 4 điểm cách đều nhau. Có bao nhiêu tam giác cân và tổng diện tích tất cả các tam giác cân tạo bởi các điểm đó với các đỉnh của hình vuông.

2) Hai học sinh An và Bình cùng tham gia một kỳ thi học sinh giỏi toán cấp tỉnh. Biết rằng bạn An thi có giải với xác suất là 0,5. Nếu bạn An thi không có giải và bạn Bình có giải thì có xác suất là 0,2. Tính xác suất để hai bạn đều không có giải.

1) Số tam giác cân tạo bởi các điểm và các đỉnh của hình vuông.
- TH1 số tam giác cân tại đỉnh của hình vuông là $4.5=20$ tam giác
- TH2 số tam giác cân tương tự tam giác cân tại $E$ và $E^{\prime }$ là $2.4=8$
- TH3 số tam giác cân tương tự tam giác cân tại $F$ và $F^{\prime }$ là $\mathrm{2.2.4}=16$

- Tổng Diện tích tam giác cân tại $A$ là $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}.2+\frac{1}{2}.3+\frac{1}{2}.4+\frac{1}{2}.5=\frac{15}{2}{m}^2$ suy ra tổng diện tích tam giác cân tại các đỉnh ở hình vuông là $4.\frac{15}{2}=30m^2$.

- Diện tích tam giác cân tại $E$ là $\frac{1}{2}.5.2=5m^2$ suy ra tổng diện tích tam giác cân tương tự tam giác cân tại $E$ là $5.8=40m^2$.

- Tổng diện tích tam giác cân tại $F$ là $\frac{1}{2}.5.2+\frac{1}{2}.5.4=15m^2$ suy ra tổng diện tích tam giác cân tương tự tam giác cân tại $F$ là $15.16=240m^2$.

Tổng diện tích tất cả các tam giác cân tạo bởi các điểm đó với các đỉnh của hình vuông bằng $30+40+240=310m^2$

2) Gọi biến cố A là bạn An thi có giải.

B là bạn Bình thi có giải.

Ta có $P(A)=0,5$ và $P\left(\overline{A}B\right)=0,2$

Vì An và Bình thi có giải là độc lập với nhau nên ta có $P\left(\overline{A}B\right)=P\left(\overline{A}\right).P(B)=0,2$

$\Rightarrow P(B)=\frac{0,2}{1-0,5}=0,4$

Vậy $P\left(\overline{A}\overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}\right)=0,5.(1-0,4)=0,3$

Xác suất để hai bạn đều không có giải là $0,3$.