Để trang trí cho một tấm biển hình ngũ giác đều $ABCDE$ tâm $O$, người ta tô màu cho 5 tam giác cân $OAB,OBC,OCD,ODE,OEA$ từ 4 màu xanh, đỏ, tím, vàng và chọn ra 6 số phân biệt từ tập hợp $A=\{1;2;3;...;120\}$ để điền vào các vị trí $A,B,C,D,E,O$. Có bao nhiêu cách trang trí thỏa mãn đồng thời các yêu cầu sau:
+ Mỗi tam giác được tô bởi đúng 1 màu;
+ Hai tam giác có chung một cạnh thì tô màu khác nhau;
+ 5 số trên năm đỉnh của ngũ giác lần lượt theo cùng chiều kim đồng hồ lập thành một cấp số nhân và công bội của cấp số nhân này là số điền vào vị trí tâm $O$.

(AI giải đề cho tôi)
**Tô màu:** 5 tam giác $OAB,OBC,OCD,ODE,OEA$ tạo thành chu trình $C_5$ (mỗi tam giác kề đúng 2 tam giác khác). Số cách tô 4 màu sao cho hai tam giác kề nhau khác màu là đa thức sắc màu của chu trình $C_5$ với $k=4$: $(4-1{)}^5+(4-1)(-1{)}^5=243-3=240$ cách.

**Điền số:** Gọi $q$ là số ở tâm $O$ (công bội) và $a$ là số ở đỉnh $A$. Năm số trên đỉnh là $a,aq,a{q}^2,a{q}^3,a{q}^4$, đôi một phân biệt và khác $q$, tất cả thuộc $\{1,\dots ,120\}$. Vì 6 số phân biệt nên $q\ge 2$ và $q$ không xuất hiện trong dãy. Điều kiện $a{q}^4\le 120$:
- $q=2$: $a\le 7$, loại $a=1$ (vì $aq=2=q$) và $a=2$ (trùng $q$), còn $a\in \{3,4,5,6,7\}$: 5 giá trị.
- $q=3$: $a=1$ nhưng dãy $1,3,9,27,81$ chứa $3=q$ → loại.
- $q\ge 4$: $q^4>120$ → không có.

Vậy có 5 cặp $(a,q)$: $(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(7,2)$. Với mỗi bộ 5 số, xếp lên 5 đỉnh sao cho đọc theo chiều kim đồng hồ là cấp số nhân công bội $q$: có 5 cách (5 vị trí bắt đầu; xếp ngược chiều cho công bội $1/q\notin A$ nên không tính). Tổng cách điền số: $5\times 5=25$.

**Kết quả:** $240\times 25=6000$ cách trang trí, trùng với đáp án nguồn (6000).