Đề Thi Học Sinh Giỏi Thành Phố Cấp THPT 2026-2027 - Môn Toán (Sở GD&ĐT Thành Phố Hải Phòng)

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có diện tích bằng 24. Biết các đỉnh $A,B$ nằm trên trục hoành, hoành độ điểm $A$ dương và đường thẳng $BC$ có phương trình $4x-3y-12=0$. Gọi $C(x_0;y_0)$, khi đó giá trị của biểu thức $x_0^2+y_0^2$ bằng

Cho ${\log }_{6}3=2a$, ${\log }_{6}5=b$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Một khối gỗ có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với độ dài hai cạnh đáy bằng 3 dm, 5 dm và chiều cao bằng 2,5 dm. Người ta cắt khối gỗ theo một mặt phẳng song song với hai đáy tạo thành hai khối gỗ (I) và (II) có thể tích bằng nhau (hình vẽ). Sau đó sơn toàn bộ bề mặt của hai khối gỗ (I) và (II) với giá là 8500 đồng/dm². Số tiền phải trả để sơn các khối gỗ là bao nhiêu nghìn đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={\cos }^{2}2x-2\sin x\cos x+2026$ bằng

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=6$ và $CD=8$. Mặt phẳng $(\alpha )$ song song với hai đường thẳng $AB,CD$ và cắt các cạnh $AC,CB,BD,DA$ lần lượt tại $M,N,P,Q$. Biết tứ giác $MNPQ$ là hình thoi, độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng bao nhiêu?

Một trận đấu bóng chuyền giữa hai đội $A$ và $B$ gồm nhiều hiệp đấu. Mỗi hiệp đấu không có kết quả hòa, đội nào thắng 3 hiệp trước là đội thắng trận đấu. Xác suất để đội $A$ thắng trong mỗi hiệp đấu là 0,56 và kết quả của các hiệp đấu là độc lập. Xác suất để đội $A$ thắng trận đấu là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Cân kiểm tra 84 con lợn sau một thời gian nuôi thử nghiệm một loại thức ăn mới được bảng mẫu số liệu ghép nhóm sau:



Cân nặng trung bình của 84 con lợn là

Một nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B, nhà máy A chỉ bán sản phẩm cho nhà máy B và nhà máy B cam kết thu mua hết số sản phẩm mà nhà máy A sản xuất được. Nhà máy A có khả năng sản xuất được tối đa 200 tấn sản phẩm trong 1 tháng. Nếu bán ra $x$ tấn sản phẩm cho nhà máy B thì giá bán mỗi tấn sản phẩm là $50-0,0002x^2$ triệu đồng. Mỗi tháng nhà máy A phải trả chi phí cho nhân công và khấu hao máy móc một lượng cố định là 150 triệu đồng, ngoài ra chi phí mua nguyên liệu để sản xuất một tấn sản phẩm là 35 triệu đồng. Giả sử nhà máy A phải nộp $6\%$ doanh thu cho cơ quan thuế. Lợi nhuận sau thuế lớn nhất thu được trong 1 tháng của nhà máy A là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, lợi nhuận sau thuế là lợi nhuận sau khi trừ tiền thuế)?

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi hệ thức
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=1;u_2=4\\ u_{n+2}+u_n=2\left(u_{n+1}+\frac{3}{2}\right)\end{array}$$
Giá trị của $u_{30}$ bằng

Bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học lớp 12A gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số tự nhiên từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa học sinh cần bấm một mật mã là 3 nút liên tiếp sao cho 3 số trên các nút theo thứ tự đã bấm tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Biết rằng nếu bấm mật mã sai ba lần liên tiếp hoặc bấm hai mật mã sai giống nhau thì bảng điều khiển dừng hoạt động trong 5 phút. Học sinh Bình cần mở cửa phòng học đó nhưng chỉ nhớ được chi tiết 3 số trên các nút theo thứ tự đã bấm tạo thành một dãy số tăng. Xác suất để học sinh Bình mở được cửa phòng học đó trước khi bảng điều khiển tạm dừng hoạt động bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, $AB=1$ và $SC=2$. Gọi $\alpha$ là số đo góc nhị diện $[S,BC,A]$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+d}$ $(a,b,c,d\in \mathbb{R})$ có bảng biến thiên như sau:



Trong các số $a,b,c,d$ có bao nhiêu số dương?

Một xưởng sơn dự định sản xuất hai loại sơn là sơn ngoài trời và sơn nội thất. Xưởng đã chuẩn bị 6 tấn nguyên liệu $A$ và 8 tấn nguyên liệu $B$. Để sản xuất một tấn sơn ngoài trời cần 2 tấn nguyên liệu $A$ và 1 tấn nguyên liệu $B$. Để sản xuất một tấn sơn nội thất cần 1 tấn nguyên liệu $A$ và 2 tấn nguyên liệu $B$. Kết quả nghiên cứu thị trường cho thấy nhu cầu sơn ngoài trời không quá 2 tấn. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số tấn sơn ngoài trời và sơn nội thất cần sản xuất. Giả sử rằng lượng sơn sản xuất ra đều được bán hết.

Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình thang cân, $AB=BC=CD=a$, $AD=2a$. Biết rằng góc giữa đường thẳng $A^{\prime }C$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{\circ }$.

Tháng 01 năm 2025, anh An bắt đầu làm việc cho một công ty X với lương bậc 1 là 16 triệu đồng/tháng. Điều khoản về lương quy định: nếu anh An hoàn thành tốt nhiệm vụ thì cứ sau 6 tháng sẽ được tăng một bậc lương; lương bậc sau tăng 5\% so với lương bậc liền trước đó. Trong suốt quá trình làm việc, anh An đều hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình và được tăng lương đúng hạn.

Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2+1$.

Trong công viên có một hồ nước hình bán nguyệt với đường kính $PR=3$ km. Từ vị trí điểm $P$ anh Minh chèo một chiếc thuyền với vận tốc 3 km/h thẳng đến vị trí điểm $Q$ trên bờ hồ, rồi đi bộ theo bờ hồ đến vị trí điểm $R$ với vận tốc 6 km/h (hình vẽ). Thời gian tối đa để anh Minh di chuyển từ $P$ đến $R$ theo cách đó là bao nhiêu giờ (giả sử thời gian đổi thuyền là không đáng kể và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Có bao nhiêu giá trị thực của $m$ sao cho với mỗi giá trị của $m$ có duy nhất một cặp số nguyên không âm $(x;y)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $x^2+y^2\ge 16$, ${\log }_{x^2+2y^2+1}\left(y^2+8x+1\right)\ge 1$ và $mx+y-1-3m=0$?

Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình trong một khu vực tiêu thụ trong một tháng ở bảng sau:



Để tiết kiệm nước sạch, công ty muốn gửi một thông báo khuyến nghị đến 25\% các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ nhiều nhất trong tháng. Vậy công ty cần lựa chọn những hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ từ bao nhiêu mét khối trở lên để gửi thông báo (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$, $BC=2$, $\widehat{BAC}=30^{\circ }$ và $\widehat{BGC}=90^{\circ }$. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với kích thước $AB=4$ m, $BC=3$ m và chiều cao $A{A}^{\prime }=3$ m. Các điểm $M,N$ lần lượt là trung điểm của $B{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$. Anh Cường muốn thiết kế một hệ thống dây trang trí bao gồm các đoạn dây nối thẳng từ $M$ đến $N$, từ $C^{\prime }$ đến $D$ và từ $P$ đến $Q$, trong đó $P$ là điểm thuộc đoạn $MN$, $Q$ là điểm thuộc đoạn $C^{\prime }D$. Giả sử các đầu nối không đáng kể thì anh Cường cần ít nhất bao nhiêu mét dây trang trí?

Để trang trí cho một tấm biển hình ngũ giác đều $ABCDE$ tâm $O$, người ta tô màu cho 5 tam giác cân $OAB,OBC,OCD,ODE,OEA$ từ 4 màu xanh, đỏ, tím, vàng và chọn ra 6 số phân biệt từ tập hợp $A=\{1;2;3;...;120\}$ để điền vào các vị trí $A,B,C,D,E,O$. Có bao nhiêu cách trang trí thỏa mãn đồng thời các yêu cầu sau:
+ Mỗi tam giác được tô bởi đúng 1 màu;
+ Hai tam giác có chung một cạnh thì tô màu khác nhau;
+ 5 số trên năm đỉnh của ngũ giác lần lượt theo cùng chiều kim đồng hồ lập thành một cấp số nhân và công bội của cấp số nhân này là số điền vào vị trí tâm $O$.