Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=4$, $BC=2$. Đường tròn $(C_1)$ tâm $I$ tiếp xúc với các cạnh $AB$, $BC$, $CD$ và đường tròn $(C_2)$ tâm $J$ bán kính $\frac{4}{5}$ tiếp xúc với các cạnh $CD$, $AD$. Đường tròn $(C)$ tâm $K$ là đường tròn tiếp xúc hai đường tròn $(C_1)$, $(C_2)$ và cạnh $AB$. Tính diện tích hình tròn $(C)$.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ khi đó $A(0;0)$, $B(4;0)$, $C(4;2)$, $D(0;2)$.

Đường tròn $(C_1)$ có đường kính bằng $BC=2$ và $I(3;1)$

Suy ra $(C_1):(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=1$.

Đường tròn $(C_2)$ bán kính $\frac{4}{5}$ và $J\left(\frac{4}{5};\frac{6}{5}\right)$

Suy ra $(C_2):{\left(x-\frac{4}{5}\right)}^2+{\left(y-\frac{6}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}$.

Gọi bán kính đường tròn $(C)$ là $a$ và $K(a;b)$ khi đó

$$\{\begin{array}{l}IK=b+1\\ JK=b+\frac{4}{5}\end{array}\text{ vaˋ }\{\begin{array}{l}IK=\left|\overrightarrow{IK}\right|=\sqrt{(a-3{)}^2+(b-1{)}^2}\\ JK=\left|\overrightarrow{JK}\right|=\sqrt{{\left(a-\frac{4}{5}\right)}^2+{\left(b-\frac{6}{5}\right)}^2}\end{array}$$

Suy ra $$\{\begin{array}{l}\sqrt{(a-3{)}^2+(b-1{)}^2}=b+1\\ \sqrt{{\left(a-\frac{4}{5}\right)}^2+{\left(b-\frac{6}{5}\right)}^2}=b+\frac{4}{5}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}(a-3{)}^2+(b-1{)}^2=(b+1{)}^2\\ {\left(a-\frac{4}{5}\right)}^2+{\left(b-\frac{6}{5}\right)}^2={\left(b+\frac{4}{5}\right)}^2\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}{a}^2-6a+9+b^2-2b+1=b^2+2b+1\\ a^2-\frac{8a}{5}+\frac{16}{25}+b^2-\frac{12b}{5}+\frac{36}{25}=b^2+\frac{8b}{5}+\frac{16}{25}\end{array}$$

$$\iff \{\begin{array}{l}{a}^2-6a+9-4b=0\\ a^2-\frac{8a}{5}-4b+\frac{36}{25}=0\end{array}\iff \frac{-22a}{5}+\frac{189}{25}=0\iff a=\frac{189}{110}.$$

$$\iff b=\frac{{\left(\frac{189}{110}\right)}^2-6.\frac{189}{110}+9}{4}=\frac{189^2-\mathrm{2.3.189.110}+3^2.110^2}{4.110^2}=\frac{(189-330{)}^2}{4.110^2}={\left(\frac{141}{220}\right)}^2$$

Đối chiếu tương đối lên hình vẽ bán kính của đường tròn $(C)$ là $b={\left(\frac{141}{220}\right)}^2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nên diện tích hình tròn $(C)$ là $S=\pi .{\left(\frac{141}{220}\right)}^4$.