Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi THPT Cấp Tỉnh Sóc Trăng Môn Toán - Đề Tham Khảo - Đề Số 1

Giải phương trình sau:

$$x^2+5x-7+\left(x^2-6x+8\right)\cos x=\left(2x^2-x+1\right)\cos x+\left(x^2+5x-7\right){\sin }^{2}x$$

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=4$, $BC=2$. Đường tròn $(C_1)$ tâm $I$ tiếp xúc với các cạnh $AB$, $BC$, $CD$ và đường tròn $(C_2)$ tâm $J$ bán kính $\frac{4}{5}$ tiếp xúc với các cạnh $CD$, $AD$. Đường tròn $(C)$ tâm $K$ là đường tròn tiếp xúc hai đường tròn $(C_1)$, $(C_2)$ và cạnh $AB$. Tính diện tích hình tròn $(C)$.

1) Cho hình vuông $ABCD$ cạnh 5m trên mỗi cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $AD$ lấy 4 điểm cách đều nhau. Có bao nhiêu tam giác cân và tổng diện tích tất cả các tam giác cân tạo bởi các điểm đó với các đỉnh của hình vuông.

2) Hai học sinh An và Bình cùng tham gia một kỳ thi học sinh giỏi toán cấp tỉnh. Biết rằng bạn An thi có giải với xác suất là 0,5. Nếu bạn An thi không có giải và bạn Bình có giải thì có xác suất là 0,2. Tính xác suất để hai bạn đều không có giải.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$ và $O$, $O^{\prime }$ lần lượt là tâm của hai hình vuông $ABCD$, $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $AD$.
1) Tính khoảng cách hai đường thẳng $N{O}^{\prime }$ và đường thẳng $PQ$.
2) Gọi $M^{\prime }$, $N^{\prime }$, $P^{\prime }$, $Q^{\prime }$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$, $A^{\prime }{D}^{\prime }$. Khi đó một vật thể $(\alpha )$ là phần giao nhau của hai hình chóp $O.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$, $O^{\prime }.MNPQ$. Tính thể tích vật thể $(\alpha )$.