Cho bảng ô vuông kích thước $2\times 4$ gồm 8 ô vuông. Sử dụng 4 màu khác nhau để tô cho 8 ô sao cho mỗi ô chỉ được tô đúng một màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu thỏa mãn trong các cặp ô vuông có chung cạnh, có đúng một cặp được tô cùng màu, còn tất cả các cặp chung cạnh khác đều được tô khác màu?

Bảng có tổng cộng 10 cặp ô chung cạnh chia làm hai loại:

Loại 1: $AB,BC,CD,DH,HG,GF,FE,EA$.

Loại 2: $BF,CG$.

Nhận xét: Giả sử ta đã tô màu đúng cho hai ô kề nhau theo chiều dọc (ví dụ ô $B$ và $F$) bằng 2 màu khác nhau. Nếu ta ghép thêm một cột mới gồm 2 ô kề nhau (ví dụ cột gồm $C$ và $G$) vào cạnh $BF$, số cách tô màu cho $C$ và $G$ là 7 cách. Thật vậy, giả sử màu của $B$ là màu 1, màu của $F$ là màu 2. Cần tô cho $C$ (kề $B$, kề $G$) và $G$ (kề $F$, kề $C$).

- Nếu $C$ mang màu 2 (giống $F$), thì $G$ chỉ cần khác màu 2, tức là $G$ có 3 cách chọn.
- Nếu $C$ mang màu khác cả 1 và 2 (có 2 cách chọn). Khi đó $G$ phải khác màu 2 và khác màu $C$, nên $G$ có 2 cách chọn. Số cách trong trường hợp này là $2\cdot 2=4$ cách.

Tổng cộng ta có $3+4=7$ cách tô cho mỗi khối ghép thêm, khi đó ta chia làm 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Cặp ô cùng màu là loại 1 (có 8 cách chọn cặp). Giả sử ta chọn $A$ và $B$ cùng màu.

- Lúc này, ($A$ và $B$) kề cả $E$ và $F$, mà $E$ và $F$ cũng kề nhau, nên số cách chọn là: $4\cdot 3\cdot 2=24$ cách.
- Cột thứ ba ($C$ và $G$) được ghép vào cạnh của ($A$ và $B$). Theo nhận xét, có 7 cách tô.
- Cột thứ tư ($D$ và $H$) được ghép vào cạnh ($C$ và $G$). Theo nhận xét, có thêm 7 cách tô.

Số cách tô màu cho mỗi cặp trong trường hợp này là:
$$24\cdot 7\cdot 7=1176\text{ (caˊch)}.$$

Trường hợp 2: Cặp ô cùng màu là loại 2 (có 2 cách chọn cặp). Giả sử ta chọn $B$ và $F$ cùng màu.

- ($B$ và $F$) sẽ kề với $A,E$ (ở cột trái) và kề với $C,G$ (ở cột phải).
- Chọn màu cho ($B$ và $F$): có 4 cách.
- Cột trái ($A$ và $E$) phải chọn cho $A$ và $E$ hai màu khác nhau nên có $3\cdot 2=6$ cách.
- Cột phải ($C$ và $G$) tương tự cũng có 6 cách.
- Cột ngoài cùng ($D$ và $H$), thì theo nhận xét, có 7 cách tô.

Số cách tô màu cho mỗi cặp trong trường hợp này là:
$$4\cdot 6\cdot 6\cdot 7=1008\text{ (caˊch)}.$$

Vậy tổng số cách tô cần tính là: $8\cdot 1176+2\cdot 1008=11424$.

Đáp án chính thức (nguồn trang lời giải, trang 5, được đóng khung trong đề): $\boxed{11424}$.