Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P):y^2=4x$. Gọi $M$ là điểm di động trên $(P)$, $T$ là điểm trên $(P)$ sao cho $OT\perp OM$ ($M$ và $T$ đều không trùng với $O$). Chứng minh rằng khi $M$ di động trên $(P)$ thì đường thẳng $MT$ luôn đi qua một điểm cố định và đồng thời trung điểm của đoạn thẳng $MT$ luôn chạy trên một parabol cố định.

Từ việc $M$ và $T$ di động trên $(P)$ ta đặt: $M(t^2,2t)$, $T(u^2,2u)$ với $t,u\ne 0$.

Do $OM\perp OT$ nên $t^2{u}^2+4tu=0\Rightarrow tu=-4$.

(1) Vì $tu=-4<0$ nên $t\ne u$. Đường thẳng $MT$ có phương trình $2x-(t+u)y+2tu=0$, hay $2x-(t+u)y-8=0$. Do đó $MT$ luôn đi qua điểm cố định $A(4,0)$.

(2) Gọi $I(x,y)$ là trung điểm của $MT$. Ta có $x=\frac{t^2+u^2}{2}$, $y=t+u$, suy ra $y^2=t^2+u^2+2tu=2x-8$.

Vậy $I$ thuộc parabol cố định $(Q):y^2=2x-8$.

Ngược lại, với mỗi điểm $I(x,y)\in (Q)$, phương trình $z^2-yz-4=0$ có hai nghiệm thực $t,u$ khác 0 thỏa mãn $t+u=y$, $tu=-4$. Khi đó $M(t^2,2t)$, $T(u^2,2u)$ thuộc $(P)$, $OM\perp OT$ và có trung điểm là $I$. Vậy trung điểm của $MT$ luôn chạy trên parabol $(Q)$ cố định.