Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường chuẩn của parabol $y^2=2px$ là $x=-\frac{p}{2}$. Theo đề, $x+\frac{1}{4}=0\iff x=-\frac{1}{4}$, nên $\frac{p}{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow p=\frac{1}{2}$. Vậy phương trình chính tắc là $y^2=2px=2\cdot \frac{1}{2}x=x$, tức $y^2=x$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tiêu điểm F₁(−1;0), F₂(1;0) nằm trên trục Ox nên c = 1. Elip đi qua A(−3;0) trên trục Ox nên a = 3. Suy ra b² = a² − c² = 9 − 1 = 8. Phương trình chính tắc: x²/9 + y²/8 = 1, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Elip (E): $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$ có $a^2=9\Rightarrow a=3$, $b^2=1\Rightarrow b=1$. Khi đó $c^2=a^2-b^2=9-1=8\Rightarrow c=2\sqrt{2}$. Tiêu cự của elip là $2c=4\sqrt{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{11}=1$ có $a^2=25$, $b^2=11$, nên $c^2=a^2+b^2=36\Rightarrow c=6$. Tiêu cự $2c=12$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường chuẩn của parabol $y^2=2px$ là $x=-\frac{p}{2}$. Theo đề, $x+\frac{1}{4}=0\iff x=-\frac{1}{4}$, nên $\frac{p}{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow p=\frac{1}{2}$. Vậy phương trình chính tắc là $y^2=2px=x$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=\frac{1}{2}x$ có dạng chính tắc $y^2=2px$ với $2p=\frac{1}{2}\Rightarrow p=\frac{1}{4}$. Tiêu điểm là $F\left(\frac{p}{2};0\right)=F\left(\frac{1}{8};0\right)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol (H) đi qua A(5;0) và có tiêu điểm F2(9;0), nên tâm tại O, trục thực là Ox, c = 9. a) Hai tiêu điểm đối xứng qua O nên F1(-9;0) → đúng. b) Tiêu cự 2c = 18 ≠ 9 → sai. c) A(5;0) thuộc trục thực nên a = 5, b² = c² - a² = 81 - 25 = 56, phương trình chính tắc x²/25 - y²/56 = 1 → đúng. d) Theo định nghĩa, |MF1 - MF2| = 2a = 10 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai tiêu điểm đối xứng qua tâm O trên trục Ox: F1(-9;0).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiêu cự 2c = 2·9 = 18, không phải 9.
c) (AI giải đề cho tôi)
a = 5 (qua A(5;0) trên trục thực), b² = 81 - 25 = 56, nên x²/25 - y²/56 = 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa hypebol, |MF1 - MF2| = 2a = 10.

(AI giải đề cho tôi)
Cổng có chiều rộng $d=6$ nên hai chân cổng tại $x=\pm 3$. Chiều cao $h=|y(3)|=\left|-\frac{1}{2}\cdot 3^2\right|=\frac{9}{2}=4,5$ mét. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4,5.

(AI giải đề cho tôi)
Cổng rộng $d=6$ nên hai chân cổng có hoành độ $x=\pm 3$. Thay $x=3$ vào $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ ta được $y=-\frac{9}{2}=-4,5$. Chiều cao cổng là khoảng cách từ đỉnh $O(0;0)$ đến chân cổng: $h=0-(-4,5)=4,5$ mét. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4,5.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $(H):\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{8}=1$ có $a^2=1$, $b^2=8$, nên $c^2=a^2+b^2=1+8=9\Rightarrow c=3$. Tiêu cự $2c=6$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình x^2/9 - y^2/16 = 1 là hypebol với a^2=9, b^2=16 nên c^2=a^2+b^2=25, c=5. a) Đúng, đây là hypebol. b) Sai, tiêu cự 2c = 10 chứ không phải 2√5. c) Đúng, tiêu điểm F1(-5;0), F2(5;0). d) Thay N(3√41/5; 16/5): x^2/9 = 41/25, y^2/16 = 16/25, tổng = 57/25 ≠ 1 nên N không nằm trên hypebol, khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Dạng x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 với a^2=9, b^2=16 là phương trình hypebol.
b) (AI giải đề cho tôi)
c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25 nên c = 5, tiêu cự 2c = 10 ≠ 2√5.
c) (AI giải đề cho tôi)
c = 5 và hypebol có trục thực là Ox nên tiêu điểm F1(-5;0), F2(5;0).
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ N: (3√41/5)^2/9 = 41/25 và (16/5)^2/16 = 16/25, tổng bằng 57/25 ≠ 1 nên N không thuộc hypebol, do đó không thể nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông.

(AI giải đề cho tôi)
Tiêu điểm $F_1(-2;0),F_2(2;0)$ nằm trên trục $Ox$ nên $c=2$, tức $c^2=4$. Elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a^2=b^2+c^2$. Xét các đáp án: B có $a^2=36,b^2=4\Rightarrow c^2=32\ne 4$ (loại); D có $a^2=36,b^2=32\Rightarrow c^2=36-32=4\Rightarrow c=2$ (thỏa mãn). Vậy phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol nhận trục Ox làm trục đối xứng, tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)=(10;0)$ nên $p=20$. Đường chuẩn của parabol $y^2=2px$ là $x=-\frac{p}{2}=-10$, tức $x+10=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình x²/16 + y²/9 = 1 có a²=16 > b²=9 nên là Elip (a đúng). c² = 16−9 = 7, c = √7, tiêu cự 2c = 2√7 ≠ √7 nên b sai. Tiêu điểm là F₁(−√7;0), F₂(√7;0), không phải (±2√7;0) nên c sai. Với M thuộc elip: MF₁ + MF₂ = 2a = 8; kết hợp MF₁ + 2MF₂ = 11 suy ra MF₂ = 3, MF₁ = 5; khi đó 2MF₁ + MF₂ = 13 (d đúng, MF₂ = 3 thỏa mãn |a−b| ≤ MF₂ ≤ a+b).
a) (AI giải đề cho tôi)
a²=16 > b²=9 nên conic là Elip.
b) (AI giải đề cho tôi)
c² = 16−9 = 7, c = √7, tiêu cự 2c = 2√7 ≠ √7.
c) (AI giải đề cho tôi)
c = √7 nên tiêu điểm là F₁(−√7;0), F₂(√7;0), không phải (±2√7;0).
d) (AI giải đề cho tôi)
MF₁ + MF₂ = 8 và MF₁ + 2MF₂ = 11 suy ra MF₂ = 3, MF₁ = 5, nên 2MF₁ + MF₂ = 13.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=4x$ có $2p=4\Rightarrow p=2$, tiêu điểm $F(1;0)$. Điểm $M(x_0;y_0)\in (P)$ có khoảng cách tới tiêu điểm bằng khoảng cách tới đường chuẩn $x=-1$, tức $MF=x_0+1=3\Rightarrow x_0=2$. Khi đó $y_0^2=4\cdot 2=8\Rightarrow y_0=\pm 2\sqrt{2}$. Vậy $M(2;2\sqrt{2})$ hoặc $M(2;-2\sqrt{2})$. Kiểm tra: $\sqrt{(2-1{)}^2+8}=3$ đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $(P)$ là:
$$x^2-2x-1=x-1\iff x^2-3x=0$$
$$x_1=0,x_2=3$$
[0,5 điểm]
Với $x_1=0\Rightarrow y_1=0-1=-1$. Ta được điểm thứ nhất là $A(0;-1)$.
Với $x_2=3\Rightarrow y_2=3-1=2$. Ta được điểm thứ hai là $B(3;2)$.
[0,5 điểm]

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $(P)$ là:
$$x^2-2x-1=x-1\iff x^2-3x=0$$
$$x_1=0,x_2=3$$
[0,5 điểm]
Với $x_1=0\Rightarrow y_1=0-1=-1$. Ta được điểm thứ nhất là $A(0;-1)$.
Với $x_2=3\Rightarrow y_2=3-1=2$. Ta được điểm thứ hai là $B(3;2)$.
[0,5 điểm]

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục toạ độ gốc O tại trung điểm AB trên mặt đất, trục Oy đi qua đỉnh parabol. Đỉnh parabol có cao 4m nên đỉnh là (0;4), parabol có dạng y = ax² + 4 (a < 0). Cửa chính rộng 4m, cao 3m nên hai đỉnh trên của cửa chính có hoành độ x = ±2 và nằm trên parabol với tung độ y = 3. Thay vào: 3 = a·4 + 4 ⇒ a = -1/4. Vậy y = -x²/4 + 4. Hai chân cổng A, B nằm trên mặt đất y = 0: -x²/4 + 4 = 0 ⇒ x² = 16 ⇒ x = ±4. Khoảng cách AB = 4 - (-4) = 8 (m). Kết quả trùng với đáp án nguồn là 8.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P):y^2=6x$ có $2p=6\Rightarrow p=3$. Đường chuẩn của parabol là đường thẳng $x=-\frac{p}{2}=-\frac{3}{2}$. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường chuẩn $x=-\frac{3}{2}$ là $d=\left|0+\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2}=1,5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: 1,5.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P):y^2=6x$ có $2p=6\Rightarrow p=3$. Đường chuẩn của parabol là đường thẳng $x=-\frac{p}{2}=-\frac{3}{2}=-1,5$. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường chuẩn $x=-1,5$ (tức $x+1,5=0$) là $d=\frac{|0+1,5|}{\sqrt{1^2+0^2}}=1,5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (1,5).