Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^2-mz+10=0$ (với $m$ là tham số). Biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$. Các điểm biểu diễn các số phức $z_1,z_2,\frac{1}{z_1},\frac{1}{z_2}$ tạo thành một đa giác lồi có diện tích lớn nhất bằng

Để các điểm biểu diễn của $z_1,z_2,\frac{1}{z_1},\frac{1}{z_2}$ tạo thành một đa giác lồi (hình thang cân) thì phương trình có hai nghiệm phức không thực và có phần thực khác $0$, tức $m^2-40<0$ và $m\ne 0$.
Đặt $z_1=a+bi$ ($a,b\ne 0$) thì $z_2=a-bi$ với $a=\frac{m}{2}$ và $a^2+b^2=10\Rightarrow b^2=10-\frac{m^2}{4}$.
Ta có $\frac{1}{z_1}=\frac{a}{10}-\frac{b}{10}i$ và $\frac{1}{z_2}=\frac{a}{10}+\frac{b}{10}i$.
Bốn điểm biểu diễn $A(a;b)$, $B(a;-b)$, $C\left(\frac{a}{10};-\frac{b}{10}\right)$, $D\left(\frac{a}{10};\frac{b}{10}\right)$ tạo thành hình thang cân $ABCD$ có diện tích:
$S_{ABCD}=\frac{\left(2|b|+\frac{2|b|}{10}\right)}{2}\cdot \left(|a|-\frac{|a|}{10}\right)=\frac{99}{100}|ab|=\frac{99}{400}\sqrt{m^2(40-m^2)}\le \frac{99}{400}\cdot \frac{m^2+40-m^2}{2}=\frac{99}{20}$.
Đẳng thức xảy ra khi $m^2=40-m^2\iff m=\pm 2\sqrt{5}$. Vậy diện tích lớn nhất bằng $\frac{99}{20}$.