Cho các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z|=2$, $|(i+1)w+3+7i|=\sqrt{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z^2+zw-4|$.

Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-2|=2$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w=(1-i)z+i$ là một đường tròn. Bán kính $r$ của đường tròn đó là:

Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn bán kính bằng $8\text{ m}$. Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông $ABCD$ để trồng hoa. Phần diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vuông đến đường tròn dùng để trồng cỏ. Ở bốn góc còn lại, mỗi góc trồng một cây cọ. Biết $AB=4\text{ m}$, giá trồng hoa là $200.000{\text{ đ/m}}^2$, giá trồng cỏ là $100.000{\text{ đ/m}}^2$, mỗi cây cọ giá $150.000\text{ đ}$. Hỏi số tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa như miêu tả ở trên gần bằng giá trị nào nhất?

Cho hai số phức $z,w$ thỏa mãn $|z-i|=2$ và $w=\frac{z-1+i}{z-2-i}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|w|$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, gọi $(\mathcal{H})$ là tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức $z$ thỏa mãn $\{\begin{array}{l}|z+\bar{z}|\ge 12\\ |z-4-3i|\le 2\sqrt{2}\end{array}$. Diện tích của hình phẳng $(\mathcal{H})$ là

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho điểm $I(1;1)$ và đường thẳng $(d):3x+4y-2=0$. Đường tròn tâm $I$ và tiếp xúc với đường thẳng $(d)$ có phương trình

Gọi $I$ là tâm của đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=4$. Số các giá trị nguyên của $m$ để đường thẳng $x+y-m=0$ cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho tam giác $IAB$ có diện tích lớn nhất là