Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị như hình vẽ sau:



Số nghiệm của phương trình $2f\left(x-1-\sqrt{2x-1}\right)-5=0$ là

Điều kiện: $x\ge \frac{1}{2}$. Đặt $t=x-1-\sqrt{2x-1}$, ta có $t^{\prime }(x)=1-\frac{1}{\sqrt{2x-1}}=0\iff x=1$.

Bảng biến thiên của $t(x)$ trên $[\frac{1}{2};+\infty )$ giảm từ $t(\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}$ xuống $t(1)=-1$, rồi tăng lên $+\infty$.

Phương trình $2f(t)-5=0\iff f(t)=\frac{5}{2}$ có $2$ nghiệm $t_1\in (-2;-1)$ (vô nghiệm $x$ vì $t\ge -1$) và $t_2\in (1;2)$ (cho đúng $1$ nghiệm $x$). Vậy phương trình đã cho có $1$ nghiệm.