Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $M(5;8;3)$, $Q(-2;-1;-4)$ và hai đường thẳng lần lượt có phương trình: ${\Delta }_1:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3\\ z=3\end{array}$; ${\Delta }_2:\{\begin{array}{l}x=-5\\ y=3\\ z=-t^{\prime }\end{array}$. Biết điểm $N$ di động trên đường thẳng ${\Delta }_1$ và điểm $P$ di động trên đường thẳng ${\Delta }_2$. Giá trị nhỏ nhất của $T=MN+NP+PQ$ là

Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $1$ và thể tích bằng $\frac{2}{3}$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$. Trên các cạnh $AB,SD$ lần lượt lấy các điểm $E,F$ sao cho $EF$ song song $BG$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $DG$ và $EF$ bằng $\frac{m}{n}$ với $m,n$ nguyên dương và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $T=2m-n$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với $10\text{ km}$, trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Máy bay thứ nhất ban đầu ở tọa độ $A(25;-10;1)$ và bay theo hướng vectơ ${\vec{v}}_1=(-3;-4;0)$ với tốc độ không đổi là $750\text{ km/h}$. Máy bay thứ hai ban đầu ở tọa độ $B(30;-25;1,1)$ và bay theo hướng vectơ ${\vec{v}}_2=(-4;3;0)$ với tốc độ không đổi là $900\text{ km/h}$. Trên máy bay thứ nhất có gắn radar tránh va chạm với bán kính hoạt động là $50\text{ km}$. Hỏi thời gian máy bay thứ hai xuất hiện trên màn hình của radar máy bay thứ nhất là bao nhiêu phút (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=-1+2t\\ z=2t\end{array}$ và $d_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{-2}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AD$, $H$ là giao điểm của $CN$ với $DM$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $DM$ và $SC$.

Hai đường thẳng sau ở vị trí tương đối nào? $(d):\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=7+t\\ z=3+4t\end{array}$ và $(d^{\prime }):\{\begin{array}{l}x=6+3t^{\prime }\\ y=-1-2t^{\prime }\\ z=-2+t^{\prime }\end{array}$

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $MN$ và $A{C}^{\prime }$ là: