Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $MN$ và $A{C}^{\prime }$ là:

Câu 6. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp, đơn vị trên mỗi trục là mét, người ta thiết lập một đường ống dẫn dầu trên không dọc theo đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=16\end{array}$ ($t$ là tham số). Vì địa hình phức tạp, người ta đành chọn điểm $A(12;10;15)$ cạnh vách núi để làm điểm trung chuyển từ mặt đất (mặt phẳng $(Oxy)$) đến đường ống này. Dựa vào kinh nghiệm của mình, họ phải chọn vị trí $B$ thuộc đường ống và vị trí $C$ thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài các đoạn đường $AB+BC+AC$ là bé nhất, tìm giá trị bé nhất đó theo đơn vị mét, làm tròn đến hàng phần mười.

Câu 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, biết $AB=2$, $AD=CD=1$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $H$ thuộc đoạn thẳng $AD$ sao cho $AH=2HD$, biết $SH=2$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=2a,AD=4a,SA\perp (ABCD)$ và cạnh $SC$ tạo với đáy góc $60^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $N$ là điểm trên cạnh $AD$ sao cho $DN=a$. Khoảng cách giữa $MN$ và $SB$ là

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=AD=a\sqrt{2},A{A}^{\prime }=a$. Tính theo $a$ khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $AC$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{-4}$ và ${\Delta }_2:\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=1-2t\\ z=-1-8t\end{array}$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=-20\\ y=2\\ z=t\end{array},d_2:\{\begin{array}{l}x=m^2\\ y=m+2\\ z=1-t\end{array}(t\in \mathbb{R})$ và điểm $K(8;-1;0)$. Biết rằng tồn tại đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $K$ vuông góc với $2$ đường $d_1,d_2$, đồng thời thỏa mãn $d(d_1;\Delta )=d(d_2;\Delta )=d(Oz;\Delta )$. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của $m$ thỏa mãn